第四节二次函数与幂函数A组基础题组1.幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为()A.0B.1C.2D.3答案C因为y=xm2-4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m<0,即0
b>c且a+b+c=0,则函数的图象可能是()答案D由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A,C.又f(0)=c<0,所以排除B,故选D.4.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)1C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案A二次函数y=kx2-4x+2图象的对称轴为x=2k,当k>0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需2k≤1,解得k≥2.当k<0时,2k<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞).5.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m的取值范围是()A.[0,4]B.[32,4]C.[32,+∞)D.[32,3]答案D二次函数图象的对称轴为x=32,且f(32)=-254,f(3)=f(0)=-4,如图所示:由图得m∈[32,3].6.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),易知x∈(0,+∞)时,f(x)为减函数,∵f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得{a>-1,a<5,a>3,∴30的解集是.答案(-∞,-4)∪(2,+∞)2解析依题意,f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a>0),于是由f(x)>0,解得x>2或x<-4.8.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.解析(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],函数图象的对称轴为x=-32∈[-2,3],∴f(x)min=f(-32)=94-92-3=-214,f(x)max=f(3)=15,∴函数f(x)的值域为[-214,15].(2)函数图象的对称轴为x=-2a-12.当-2a-12≤1,即a≥-12时,f(x)max=f(3)=6a+3,∴6a+3=1,即a=-13,满足题意;当-2a-12>1,即a<-12时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.综上可知,a=-13或-1.9.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围.解析(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,故{f(3)=5,f(2)=2⇒{9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2⇒{a=1,b=0;当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,故{f(3)=2,f(2)=5⇒{9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5⇒{a=-1,b=3.3(2)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2.g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,因为g(x)在[2,4]上单调,所以2+m2≤2或m+22≥4.所以m≤2或m≥6.B组提升题组1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(1)=f(3)>f(4),则()A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0答案B因为f(1)=f(3),所以直线x=2为f(x)图象的对称轴,故-b2a=2,则4a+b=0,又f(3)>f(4),所以在(2,+∞)上f(x)为减函数,所以f(x)图象的开口向下,所以a<0.故选B.2.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则()A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0答案C因为f(x)图象的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-10,所以f(m+1)>f(0)>0.3.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为.4答案(-94,-2]解析由题意得,函数y=f(x)-g(x)=x2-3x+4-2x-m=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.令h(x)=x2-5x+4-m,则{h(0)≥0,h(2.5)<0,h(3)≥0,即{4-m≥0,-94-m<0,-2-m≥0⇒-940,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)={f(x),x>0,-f(x),x<0,求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解析(1)由题意知a-b+c=0,且-b2a=-1,又c=1,所以a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)={(x+1)2,x>0,-(x+1)2,x<0.所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤1x-x且b≥-1x-x在(0,1]上恒成立.因为当x∈(0,1]时,y=1x-x的最小值为0,y=-1x-x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].56
