课时分层作业(十六)数乘向量(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC等于()A．BCB．BCC．－BCD．－BCD[∵AC＝AB，∴BC＝－AB，∴AC＝－BC.]2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果OA＝3e1，OB＝3e2，则OD＝()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C．e1＋e2D．e1＋e2A[∵AB＝OB－OA＝3(e2－e1)，∴AD＝AB＝2(e2－e1)，∴OD＝OA＋AD＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.]3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于()A．(a－b)B．－(a－b)C．(a＋b)D．－(a＋b)C[AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝(a＋b)．]4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.C．－1或4D．3或4A[因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a、b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3，选A.]5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则()A.AO＝2ODB.AO＝ODC.AO＝3ODD．2AO＝ODB[因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.]二、填空题6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.2[∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2.]7．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．2b－a[原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝2b－a.]8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.[DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]三、解答题9．设a，b是不共线的两个向量，已知AB＝2a＋kb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．[解]∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，则必存在实数λ，使AB＝λBD，而BD＝BC＋CD＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，于是⇒∴k＝－1.10．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．[解](1)证明：因为OM＝λOB＋(1－λ)OA，所以OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，即AM＝λAB，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且AM，AB有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知AM＝λAB，若点B在线段AM上，则AM，AB同向且|AM|>|AB|(如图所示)．所以λ>1.[等级过关练]1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.B．－C．－D.C[∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.]2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心C[因为OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，所以AP＝λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，即AP与AB＋AC共线，而AB＋AC是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．]3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ的值为________．[CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB.]4．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．b－a[如图，MN＝MB＋BA＋AN＝－b－a＋AC＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．]5.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M、N、C三点共线．[证明]设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝BA－BC＝a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴BN＝BD＝(BC＋CD)＝(a＋b)，∴CN＝BN－BC＝(a＋b)－b＝a－b＝，∴CN＝CM，又∵CN与CM的公共点为C，∴C、M、N三点共线.
