高考数学 专题31 空间中直线、平面平行位置关系的证明方法黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题31空间中直线、平面平行位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法.在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步按照线线平行得到线面平行，进而得出面面平行的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例1如图，在棱长均为4的三棱柱中，分别是和的中点.（1）求证：平面（2）若平面平面，求三棱锥的体积.(方法2)在中，因为，所以为正三角形，因此.因为平面平面，交线为，平面，所以平面，即是三棱锥的高.在中，由，得的面积.在中，因为，所以.所以三棱锥的体积.【点评】证明线面平行的思路一般有两种：一是在所证的平面内找到一条直线与已知直线平行即可；二是通过证明已知直线所在的平面与已知平面平行，进而得到这条直线与已知平面平行的结论.例2已知四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM:MA=BN:ND=PQ:QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．【答案】详见解析.【点评】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．【变式演练1】如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点．求证：；【答案】详见解析.【解析】试题分析：证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得，从而有平面．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明.试题解析：证明：在正方形中，因为是的中点，所以．又因为平面，所以平面．因为平面，且平面平面，所以．【变式演练2】如图，直三棱柱中，，，点在线段上.若是中点，证明：平面.【答案】详见解析.【解析】试题分析：证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行.试题解析：证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME．因为直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，ME为△ABC1的中位线，所以ME//AC1．因为ME平面B1CM，AC1平面B1CM，所以AC1∥平面B1C.【变式演练3】已知正方体ABCD–A1B1C1D1证：平面AB1D1∥平面C1BD.【答案】详见解析.考点：空间直线与平面的平行的判定及性质.【变式演练4】已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.求证EF∥平面BCD.【答案】详见解析.考点：空间直线与平面的平行的判定及性质.方法二空间向量法使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板：第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.【答案】详见解析.【解析】如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．【点评】用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.【变式演练5】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【答案】详见解析.【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE一个...