第20讲古典概型、几何概型(对应学生用书第114页)一、选择题1．(2017·全国Ⅰ卷)如图201，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()【导学号：07804128】图201A．B．C．D．B[(概率中的数学文化)不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知所求概率P＝＝＝.故选B.]2．(2017·深圳一模)袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“3”“4”“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B．C.D．C[从4个球中随机选取三个球，共有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)四种情况，其中所选的三个球上的数字能构成等差数列的为(2,3,4)，(2,4,6)，故所求事件的概率为.故选C.]3．(2017·福州五校联考)小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A.B．C.D．D[法一：(直接法)设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A，则P(A)＝＝，选D.法二：(间接法)设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”，则P(A)＝1－＝，选D.]4.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.B．C.D．C[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.]5．(2017·福建高三4月质量检查)某食品厂做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为()A.B．C.D．B[P(获奖)＝＝＝.故选B.]6．(2017·湖南长沙四县联考)如图202，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()图202A．1－B．C．D．1－A[鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.]7．(2017·沈阳一模)将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是()A.B．C.D．B[A，B，C，D4名同学排成一排有A＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为＝，故选B.]8．(2017·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为()【导学号：07804129】A.B．C.D．C[白球没有减少的情况有：抓出黑球，放回任意球，概率是；抓出白球，放回白球，概率是×＝.故所求事件的概率为＋＝，故选C.]9．(2017·太原二模)如图203，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图203A.B．C.D．B[法一：(直接法)设大正方形的边长为1，直角三角形较大的锐角为α，则小正方形的边长为sinα－cosα，所以(sinα－cosα)2＝，所以sinα－...
