数列的综合应用VIP专享VIP免费

数列的综合应用1．等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.2．函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值集合是3．在等差数列中，表示其前项，若，，则的取值范围是（4，）4.已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_____________1535.已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列满足,则的值6.等差数列中，已知，，则的取值范围是.7．如图,互不相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.8.设函数，是公差为的等差数列，，则一、典型例题例1如图，、、…、（）是曲线C：（）上的n个点，点（）在x轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（Ⅰ）写出、、；（Ⅱ）求出点（）的横坐标关于n的表达式；（Ⅲ）设，若对任意的正整数n，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）与的交点为，,故与的交点为，故,与的交点为,故(2)第n个正三角形为（点即为原点），它的边长为，则，其中，于是的坐标为，∴，，，两式相减，是公差和首项都是2等差数列，，第n个正三角形的边长为，关于n的表达式。（3）是关于n递减数列，的最大值不等式恒成立，，，，，，。例2设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.【答案】(1)解:,.当时,又,(2)解:,.①当时,②由①—②,得数列是以首项为,公差为1的等差数列.当时,上式显然成立.(3)证明:由(2)知,①当时,,原不等式成立.②当时,,原不等式亦成立.③当时,当时原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.例3在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于根，从而由20092)1(2)1(2009nnnnn且*Nn得，当62n时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而2009)1(21nnnx，即4177220092)12(nxn，因1n与n的奇偶性不同，所以12nx与n的奇偶性也不同，且12nxn，从而由上述等式得：574127nxn或2871214nxn或981241nxn或821249nxn，所以共有4种方案可供选择。（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n，则29x，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为3200cm，而所以符合条件；若49n，则17x，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为3240cm，显然大于4m，不合条件，舍去，综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。例4设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=3,4,…,）阶“期待数列”：①；②.（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为.试证：；②解：（1）数列为三阶期待数列；数列为四阶期待数列；（2）设等差数列的公差为，，所以，即，当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，当d>0时,据期待数列的条件①②得：由得，当d<0时，同理可得由得，（3）Error:Referencesourcenotfound（）当k=n时，显然成立；当k