1.4----角平分线.4角平分线(1)PPT课件VIP免费

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?角平分线上的点到角两边的距离相等。回顾思考你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵PDOA⊥，PEOB⊥，∴∠PDO=PEO=90°∠∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,⊥⊥垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).AOCB12PDE老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.你能写出上面这个定理的逆命题吗?性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。它是真命题吗?如果是.请你证明它。AOCB12PDE已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．AOCB12PDE判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD=PE,PDOA,PEOB,⊥⊥垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).AOCB12PDE老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.例题讲析例1如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.12121.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=______，则PE=__________.==14.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么位置关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF5.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF2.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO温馨提示：本题综合运用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质哦！1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.角平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.