编号：09005110201南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：关于矩阵最小多项式的探讨完成人：李菊花班级：2009-02学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：袁玉卓完成日期：2013-04-12目录摘要.........................................................................................................(1)0引言.....................................................................................................(1)1预备知识.............................................................................................(1)2矩阵最小多项式的求法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(2)2.1利用不变因子求矩阵最小多项式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(3)2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..............(4)2.3利用Jordan标准型计算矩阵的最小多项式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.............(5)3矩阵最小多项式的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...........................(7)3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用.⋯⋯..⋯............................................(7)3.1.1已知方阵A和多项式f，求.fA⋯⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..⋯..........(7)3.1.2A为方阵确定fA非奇异及求fA的逆..⋯⋯⋯⋯⋯..⋯..................(8)3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用........⋯⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10)3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用.........⋯⋯⋯..⋯⋯..........................(12)参考文献⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯......................(13)Abstract⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..........⋯................(14)第1页（共14页）关于矩阵最小多项式的探讨作者：李菊花指导老师：袁玉卓摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用0引言在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.C表示复数域C上的一元多项式环.nMC表示C上的全体n阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向量空间.Af表示方阵A的特征多项式.Am表示方阵A的最小多项式.第2页（共14页）为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.定义11设AnMC，fC，若fA=0，则称f为A的零化多项式.定义21在A的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为A的最小多项式，记作Am.引理12若当块000100010001kkkccJCcc的最小多项式为kkJCmc.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时，||kkfEJCc.引理24相似矩阵有相同的最小多项式，即若A相似于B，则ABmm.引理32任取nMC中的k阶可逆矩阵A，设其最小多项式为111nnAnnmbbb，则1A的最小多项式是1111.nnnnnnbbbbb引理45设A=12,,...,sdiagAAA，记A的最小多项式为Am，iA的最小多项式为iAm，1,2,...,,is则12,,...,sAAAAmmmm.引理51Af的根必是Am的根.2矩阵最小多项式的求法在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种计算矩阵最小多项式的方法.2.1利用不变因子求矩阵最小多项式定理16n阶复数矩阵A的最小多项式Am就是A的最后一个不变因子nd.第3页（共14页）证明任取nMC中矩阵A，则A相似于某一个若当块nJMC.其中，1122,,...,,ssJdiagJJJ由引理2知，.AJmm（1）又由引理4，12,,...,sJJJJmmmm（2）再有引理1，,1,2,...,.iikJimis（3）其中，ik是iiJ的阶数，i是iJ主对角线的元素，结合（1），（2），（3）得：121212,,...,,,...,skkkAJJJJssmmmmm.由引理4及初等因...
