沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对称问题③教学目标1.掌握关于已知直线的对称题型的解题方法；2.掌握直线对称题型的应用，会把相关问题转化成直线对称题型知识梳理1.点关于线对称（1）(,)Pxy关于xa的对称点为(2,)axy（2）(,)Pxy关于yb的对称点为(,2)xby（3）(,)Pxy关于yxb的对称点为(,)ybxb（巧记：代入x求y，代入y求x）（4）(,)Pxy关于yxb的对称点为(,)ybxb（巧记：代入x求y，代入y求x）（5）求解(,)Pxy关于:0lAxByC的对称点一般步骤：设对称点(,)Pab列方程0()22()()0()axbyABCPPlBaxAbyPPl中点在上与垂直求解,ab2.其他的（线、圆、二次曲线、一般曲线）关于线对称（1）转化成点关于线对称（2）其他好方法（具体题目具体分析）典例精讲例1.（★★★）一条光线从5,3M点射出后，被直线:1lxy反射，入射光线与l的夹角为，且tan2，求反射光线所在的直线方程。【答案】：设M关于l的对称点为M，则(2,4)M，反射光线的反向延长线应过点M由于入射光线与反射光线同l的夹角应该相等，也为设反射光线的斜率为k，则121kk，解得3k或13所以反射光线：320xy或3100xy例2.（★★★）光线从A(3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D，求BC所在直线的方程。【答案】：如图，作A关于x轴的对称点A，D关于y轴的对称点D则(3,4)A，(1,6)B这样，光线就相当于从A射出，射到D点BC即AD，求得：5270xy例3.（★★★）x轴上任一点P到定点0,2A、1,1B距离之和的最小值是【答案】：如图，作B关于x轴的对称点B，则有PBPB所以PAPBPAPB根据三角形的两边之和大于第三边有10PAPBAB（当且仅当P为AB与x轴的交点时取等号）10PAPB，最小值为10POxy(0,2)A(1,1)B(1,1)BDCyxOAADB例4.（★★★）已知点(4,1)A，(0,4)B，试在直线:310lxy上找一点P，使PAPB的绝对值最大，并求出这个最大值.【答案】：如图，作B关于l的对称点B，设(,)Bab则4310223(4)0abab，求得33ab，所以(3,3)B由于B与B关于l对称，所以有PBPB所以PAPBPAPB根据三角形的两边之差小于第三边有5PAPBAB（当且仅当P为AB与l的交点时取等号，求得(2,5)P）5PAPB，最大值为5课堂检测1.（★★★）一条光线经过点(2,3)P，射在直线l：10xy上，反射后穿过点(1,1)Q.(1)求光线的入射线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度.【答案】：（1）5420xy（2）412.（★★★）自点(3,3)A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆224470xyxy相切，则光线l所在直线方程为_________【答案】：光线l所在的直线与圆224470xyxy关于x轴对称的圆相切,求得3430xy或4330xylBxOPyAPB3.（★★★）若直线:30lxy，一束光线从点1,2A处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点，⑴试判断由此得到的ABC是有限个还是无限个？请说明理由；⑵依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的ABC面积最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC方程；【答案】：⑴这样的ABC只有一个，⑵1131023xyx4.（★★★）已知点0,3A，4,5B，点P在x轴上，则PAPB的最小值为__________.【答案】：455.（★★★）已知(3,8)A和(2,2)B，在x轴上有一点M，使得AMBM最短，求点M的坐标。【答案】：(1,0)6.（★★★）直线240xy上有一点P，它与两定点(4,1)A，(3,4)B的距离之差最大，则P点坐标是_________.【答案】：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点。求得(5,6)P
