沪教版上海高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对称问题③VIP专享VIP免费

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对称问题③教学目标1.掌握关于已知直线的对称题型的解题方法；2.掌握直线对称题型的应用，会把相关问题转化成直线对称题型知识梳理1.点关于线对称（1）(,)Pxy关于xa的对称点为(2,)axy（2）(,)Pxy关于yb的对称点为(,2)xby（3）(,)Pxy关于yxb的对称点为(,)ybxb（巧记：代入x求y，代入y求x）（4）(,)Pxy关于yxb的对称点为(,)ybxb（巧记：代入x求y，代入y求x）（5）求解(,)Pxy关于:0lAxByC的对称点一般步骤：设对称点(,)Pab列方程0()22()()0()axbyABCPPlBaxAbyPPl中点在上与垂直求解,ab2.其他的（线、圆、二次曲线、一般曲线）关于线对称（1）转化成点关于线对称（2）其他好方法（具体题目具体分析）典例精讲例1.（★★★）一条光线从5,3M点射出后，被直线:1lxy反射，入射光线与l的夹角为，且tan2，求反射光线所在的直线方程。【答案】：设M关于l的对称点为M，则(2,4)M，反射光线的反向延长线应过点M由于入射光线与反射光线同l的夹角应该相等，也为设反射光线的斜率为k，则121kk，解得3k或13所以反射光线：320xy或3100xy例2.（★★★）光线从A(3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D，求BC所在直线的方程。【答案】：如图，作A关于x轴的对称点A，D关于y轴的对称点D则(3,4)A，(1,6)B这样，光线就相当于从A射出，射到D点BC即AD，求得：5270xy例3.（★★★）x轴上任一点P到定点0,2A、1,1B距离之和的最小值是【答案】：如图，作B关于x轴的对称点B，则有PBPB所以PAPBPAPB根据三角形的两边之和大于第三边有10PAPBAB（当且仅当P为AB与x轴的交点时取等号）10PAPB，最小值为10POxy(0,2)A(1,1)B(1,1)BDCyxOAADB例4.（★★★）已知点(4,1)A，(0,4)B，试在直线:310lxy上找一点P，使PAPB的绝对值最大，并求出这个最大值.【答案】：如图，作B关于l的对称点B，设(,)Bab则4310223(4)0abab，求得33ab，所以(3,3)B由于B与B关于l对称，所以有PBPB所以PAPBPAPB根据三角形的两边之差小于第三边有5PAPBAB（当且仅当P为AB与l的交点时取等号，求得(2,5)P）5PAPB，最大值为5课堂检测1.（★★★）一条光线经过点(2,3)P，射在直线l：10xy上，反射后穿过点(1,1)Q.(1)求光线的入射线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度.【答案】：（1）5420xy（2）412.（★★★）自点(3,3)A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆224470xyxy相切，则光线l所在直线方程为_________【答案】：光线l所在的直线与圆224470xyxy关于x轴对称的圆相切,求得3430xy或4330xylBxOPyAPB3.（★★★）若直线:30lxy，一束光线从点1,2A处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点，⑴试判断由此得到的ABC是有限个还是无限个？请说明理由；⑵依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的ABC面积最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC方程；【答案】：⑴这样的ABC只有一个，⑵1131023xyx4.（★★★）已知点0,3A，4,5B，点P在x轴上，则PAPB的最小值为__________.【答案】：455.（★★★）已知(3,8)A和(2,2)B，在x轴上有一点M，使得AMBM最短，求点M的坐标。【答案】：(1,0)6.（★★★）直线240xy上有一点P，它与两定点(4,1)A，(3,4)B的距离之差最大，则P点坐标是_________.【答案】：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点。求得(5,6)P