浙江专用2018版高考数学复习数列与数学归纳法5数学归纳法教师用书VIP免费

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.5数学归纳法教师用书数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(×)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(×)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(×)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋⋯＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(√)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(√)1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋⋯＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案C解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.2．(2016·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋⋯－1n＝2(1n＋2＋1n＋4＋⋯＋12n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案B解析因为n为正偶数，n＝k时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0答案C解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.答案345n＋1题型一用数学归纳法证明等式例1设f(n)＝1＋12＋13＋⋯＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋⋯＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋⋯＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋⋯＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立．由①②可知当n∈N*时，f(1)＋f(2)＋⋯＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．(2017·杭州第四中学质检)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋⋯＋n2n－n＋＝nn＋n＋(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝＋＋＝13，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．即121×3＋223×5＋⋯＋k2k－k＋＝kk＋k＋，当n＝k＋1时，左边＝121×3＋223×5＋⋯＋k2k－k＋＋k＋2k＋k＋＝kk＋k＋＋k＋12k＋k＋＝kk＋k＋＋k＋2k＋k＋＝k＋k2＋5k＋k＋k＋＝k＋k＋k＋，右边＝k＋k＋1＋k＋＋1]＝k＋k＋k＋，左边＝右边，等式成立．即对所有n∈N*，原式都成立．题型二用数学归纳法证明不等式例2(2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·⋯·bn＋1bn>n＋1成立．(1)解由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以a2a1＝b，即bb－b＋r＝b，解得r＝－1.(2)证明由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋1...