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浙江专用2018版高考数学复习数列与数学归纳法5数学归纳法教师用书VIP免费

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(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.5数学归纳法教师用书数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(×)(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(×)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+⋯+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(√)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.(√)1.用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等式左边的项是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C解析当n=1时,n+1=2,∴左边=1+a1+a2=1+a+a2.2.(2016·黄山模拟)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+⋯-1n=2(1n+2+1n+4+⋯+12n)时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立答案B解析因为n为正偶数,n=k时等式成立,即n为第k个偶数时命题成立,所以需假设n为下一个偶数,即n=k+2时等式成立.3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.0答案C解析凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n=3.4.(教材改编)已知{an}满足an+1=a2n-nan+1,n∈N*,且a1=2,则a2=________,a3=________,a4=________,猜想an=________.答案345n+1题型一用数学归纳法证明等式例1设f(n)=1+12+13+⋯+1n(n∈N*).求证:f(1)+f(2)+⋯+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).证明①当n=2时,左边=f(1)=1,右边=2(1+12-1)=1,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立,即f(1)+f(2)+⋯+f(k-1)=k[f(k)-1],那么,当n=k+1时,f(1)+f(2)+⋯+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)[f(k+1)-1k+1]-k=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],∴当n=k+1时结论成立.由①②可知当n∈N*时,f(1)+f(2)+⋯+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n=n0时等式成立.(2)由n=k证明n=k+1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.(2017·杭州第四中学质检)用数学归纳法证明:121×3+223×5+⋯+n2n-n+=nn+n+(n∈N*).证明①当n=1时,左边=121×3=13,右边=++=13,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立.即121×3+223×5+⋯+k2k-k+=kk+k+,当n=k+1时,左边=121×3+223×5+⋯+k2k-k++k+2k+k+=kk+k++k+12k+k+=kk+k++k+2k+k+=k+k2+5k+k+k+=k+k+k+,右边=k+k+1+k++1]=k+k+k+,左边=右边,等式成立.即对所有n∈N*,原式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2(2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不等式b1+1b1·b2+1b2·⋯·bn+1bn>n+1成立.(1)解由题意,Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于b>0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),所以a2a1=b,即bb-b+r=b,解得r=-1.(2)证明由(1)及b=2知an=2n-1.因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为2+1...

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