1§6.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义．2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模长以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.2结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22概念方法微思考1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(×)题组二教材改编2．[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．3答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案23解析方法一|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________．答案322解析AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，由定义知，AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.6．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－32解析 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.4题型一平面向量数量积的基本运算1．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于()A．8B．10C．11D．12答案D解析 a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于()A．4B．3C．2D．0答案B解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. |a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.答案－16解析如图所示，AB→＝AM→＋MB→，AC→＝AM→＋MC→＝AM→－MB→，∴AB→·AC→＝(AM→＋MB→)·(AM→－MB→)＝AM→2－MB→2＝|AM→|2－|MB→|2＝9－...
