浙江第二届高中数学说题比赛题目及解答VIP免费

个人赛：1.设集合1|),{(abaM，且}mb，其中Rm.若任意Mba),(，均有032abab，求实数m的最大值.解法1：（纯代数解法）由题意得：0)32(bab对于1a恒成立.（这里看做a的一次函数）于是有0)32()1(032bbb，)32(32bbb（*）构造函数xxgx2)(，显然)(xg在R上单调递增，（*）式转化为)1()(gbg，也就是1b恒成立，所以1m，即实数m的最大值为1.解法2：（数形结合）由题意得：bab)32(，abb32对于1a恒成立.（再把b看做x）这里32xy是不变的，而axy是一条绕着原点旋转的直线，其斜率范围是)0,1[1a，要使得axx32在),(m上恒成立，也就是在),(m上无论斜率怎样变化，都要满足直线在曲线上方，那么直线最“陡”时，满足题意即可，也就是当1a时，不等式bb32恒成立.以下同解法一.解法3：（用必要条件减少范围）由题意得：当1a时，不等式032abab也应成立，即32bb，解得1b（过程同解法一），此时032b，从而有32bba对于1a恒成立，也就是32maxbba恒成立，也就是132bb恒成立，即32bb，得1b.所以1m，即实数m的最大值为1.32xyaxyxyOm2.在非等腰直角ABC中，已知90C，D是BC的一个三等分点，若552cosBAD，求BACsin的值.解法1：由于点D是BC的三等分点，若点D靠近点B，则30BAD，即23cosBAD，又因为2352，所以点D靠近点C.设BAD，DAC，设hACxBC,3，则由题意可得21tan，hxhx3)tan(,tan，因为)tan(tan，所以可得2)(31221hxhx，得到1hx或31hx.因为xh3，所以xh，所以10103sinBAC.综上所述，10103sinBAC.解法2（代数方法）：设bACaBC,3，运用余弦定理可得，2cos222BDADABBAD，即2222222222222299292552abababaababADABBDADAB或者22ab.因为ab3，从而得到ab，又因为2293cosabaB，从而得到10103cossinBBAC.MEDACBQPMEDACBQP3.如图，在矩形ABCD中，EbabBCaAB),0,0(,为边BC的中点，设QP,分别是CDBC,上的点，且满足PECPQCDQ，连接AQ与DP交于点M，求动点M的轨迹方程，并指出它的形状.解法1：如图建系，设)1,0[CECPDCDQ则xabylAQ:，xabbyldp2:两式相乘得2222)(xabbyy化简得124)2(2222axbby，],32(),32,0[bbyaxab2时，是圆的一部分，ab2时，是椭圆的一部分，解法2:构造新长方形,取ab2，设)1,0[CECPDCDQ则aDQ,aCP22此时DCCPADDQ,即DCPADQ即AQDP,所以M点轨迹为以AD为直径的圆弧2)22(222aayx，]2,322(),32,0[aayax当ab2时，则原题可看作新模型的纵方向上的伸缩变换，即y乘以ba2即可，得到2)222(222aaybax化简得124)2(2222axbby，圆经过纵向伸缩之后得到的自然是椭圆。MEDACBQP32112242464321122465432112团体赛：1.已知Rcba,,，对任意实数x均有2322xxcbxax.求acb42的最小值.解法1：不妨令0a，1.当042acb时，cbxax2与232xx有相同的零点，即acab2,3此时，要使得2322xxcbxax恒成立，只需1a，此时1422aacb；2.当042acb时，从图像可知，不成立；3.当042acb时，只需保证cbxaxy2同时在232xxy与232xxy的上方即可，即0)23()(0)23()(2222xxcbxaxxxcbxax恒成立即0)2)(1(4)3(0)2)(1(4)3(2221cabcab两式相加得542acb（注：此为充分不必要关系）.综上，acb42的最小值为1.2.已知函数)()12()2()(23Rmxmxmxxf.设函数)(xf除零外还有两个不同的零点1x，2x0(21xx，且)21xx.若对任意的1[xx，]2x，)4()(fxf恒成立，求实数m的取值范围.解法：有题意得)]12()2([)(2mxmxxxf，可知21,xx是方程0)12()2(2mxmx的两个不等非零根，于是有0)12(4)2(2mm，解得),4()0,21()21,(m，以下对m进行讨论：1当4m时，有韦达定理0120)2(2121mxxmxx，有021xx，借助图象有0)4(f，解得294m；2当0m时，易知210xx，借助图象有)(xf的极小值大于)4(f，于是)312)(1(3)('mxxxf，即有)4()312(fmf，解之，得08m；综上所述，实数m的取值范围是)29,4()0,21()21,8(.3.已知函数baxxaxxf3)1(23)(23.（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数对),(ba，使得不等式1)(1xf对]3,0[x恒成立？若存在，试求出所有的实数对),(ba；若不存在，请说明理由.解法：（Ⅰ）))(1(3)('axxxf当1a时，增区间),(a，),1(；减区间)1,(a；当1a时，增区间R；减区间不存在；当1a时，增区间)1,(，),(a；减区间),1(a.（Ⅱ）由题知1)3(11)1(11)0(1fff，直接得到)1,1(),(ba.