1/2矩阵的基础理论可逆阵的刻画结论设()nnAMF,下列诸条等价(⒈)A是可逆矩阵(即存在()nnBMF,使ABBAI)(⒉)存在()nnBMF,使nABI(⒊)存在()nnBMF,使nBAI(⒋)A是非奇异的;(⒌)A的秩为n;(⒍)A可经一系列初等变换化为nI;(⒎)A可经若干次行初等变换化为nI;(⒏)A可经若干次列初等变换化为nI;(⒐)A可表示为一些初等矩阵的乘积;(⒑)A的行向量组线性无关;(⒒)A的列向量组线性无关;(⒓)A的的n个特征根都不等于零;(⒔)其次线性方程组0AX只有零解;(⒕)对任意n维列向量nF,AX有唯一解.2“和化积”法这是判断一个方阵是否可逆的及求其逆的一种技巧.例1若方阵A满足3233AAA.证明IA可逆,并求1IA证32330AAA3233AAAII2IAIAI故12IAIA.例2设A,BAB均可逆,证明11AB也可逆并求逆.证因为111111()ABAIABABAB又A,BAB均可逆所以11AB可逆2/2111AB1BBAA.例3设A,B都是正交阵,若detdet0AB,则BA不可逆.证因为A,B都是正交阵,所以AAAAI,BBBBI.()ABABBAABABAB.det()det()det()det()ABABAB2det()(det)det()ABAAB.2[1det()]det()0AAB所以det()0AB,即有AB不可逆.例4设A,B分别是,mnnm阵,且mIAB可逆.证明nIBA也可逆,并求1nIBA.证因nAIBA()mAABAIABA所以1()mnIABAIBAA.11()[()]()nnnmnnmnIIBAABIBABIABAIBAIBIABAIBA故nIBA也可逆,且11()nnmIBAIBIABA.例5设A是n阶可逆方阵,,分别是n维列向量,且110A.证明A是可逆阵,并求逆.证1[()()]nAAIA因为1111()()0AA,所以由例知1()()nIA是可逆阵,且11111[()()]()[()()]()nnnIAIAIA111nAIA故111111()(1)AAAAA上式称为公式，它在计算方法和最优化理论中都是有用的，
