1/2矩阵的基础理论可逆阵的刻画结论设()nnAMF,下列诸条等价(⒈)A是可逆矩阵(即存在()nnBMF,使ABBAI)(⒉)存在()nnBMF,使nABI(⒊)存在()nnBMF,使nBAI(⒋)A是非奇异的;(⒌)A的秩为n;(⒍)A可经一系列初等变换化为nI;(⒎)A可经若干次行初等变换化为nI;(⒏)A可经若干次列初等变换化为nI;(⒐)A可表示为一些初等矩阵的乘积;(⒑)A的行向量组线性无关;(⒒)A的列向量组线性无关;(⒓)A的的n个特征根都不等于零;(⒔)其次线性方程组0AX只有零解;(⒕)对任意n维列向量nF,AX有唯一解
2“和化积”法这是判断一个方阵是否可逆的及求其逆的一种技巧
例1若方阵A满足3233AAA
证明IA可逆,并求1IA证32330AAA3233AAAII2IAIAI故12IAIA
例2设A,BAB均可逆,证明11AB也可逆并求逆
证因为111111()ABAIABABAB又A,BAB均可逆所以11AB可逆2/2111AB1BBAA
例3设A,B都是正交阵,若detdet0AB,则BA不可逆
证因为A,B都是正交阵,所以AAAAI,BBBBI
()ABABBAABABAB
det()det()det()det()ABABAB2det()(det)det()ABAAB
2[1det()]det()0AAB所以det()0AB,即有AB不可逆
例4设A,B分别是,mnnm阵,且mIAB可逆
证明nIBA也可逆,并求1nIBA
证因nAIBA()mAABAIABA所以1()mnIABAIBAA
11()[()]()nnnmnnmnIIBAABIBABIABAIBAIBIABAIBA故nIBA也可逆,且11()nnmIBAIBIABA
例5设A是n阶可逆方阵,,分别是n维列向量,且110A
证明A是可逆阵,并求逆
证1[()()]nAAIA因为1
