积分中值定理VIP专享VIP免费

第一章积分中值定理一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点”，故有时也将其统称为微分中值定理，该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点”，定理只告诉了我们//的存在性，并未指出它的确切位置（实际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道//存在就足够了），若忽视了这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内有二阶导数，证明存在//，使得)(4)()()2(2)(2fabafbafbf。分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法)()2(2)(afbafbf)]()2([)]2()([afbafbafbf（*）)]()([221ffab)()(221fab（1212,2bbaa）。但是，问题很明显，由于中值定理没有确定1、2的具体位置，因此不能保证221ab，也就达不到题目的要求。但是，这种尝试给了我们有益的启示：我们把（*）每一个方括号内的值看成一个函数的函数值，从而（*）表达式即可视为某函数在一个区间的两个端点的函数值之差，在此基础上再使用中值定理，问题就可以解决。证明：令)()2()(xfabxfx，则)(x在区间]2,[baa上可以使用拉格朗日中值定理，故有)(2)()2(1ababa)]()2([211fabfab)22(11babbaa再在]2,[11ab上对)(xf应用拉格朗日中值定理（因为)(xf在),(ba内有二阶导数），则存在),()2,(11baab，使得)(2)()2(11fabfabf，从而问题得证。二、用罗必达法则求不定式的极限，由于分类清楚、规律性强且可以连续进行运算，故在求极限时经常用到。但需要注意法则的使用需要满足相应的条件，尤其要注意以下几点：1．罗必达法则的条件是充分的，也就是说，如果Lxgxf)()(（或），则Lxgxf)()(（或）。但是如果)()(xgxf振荡发散，)()(xgxf仍可以有极限，这一点需要引起大家的注意。例如求xxxx2sin1sinlim20，这是00型未定式，极限明显存在，但使用一次罗必达法则后，就会出现振荡发散的情形，从而问题就变的无法解决。正确的解法应为原式=01sin21lim1sin2sinlim00xxxxxxxx。2．不是未定式，也去使用罗必达法则。例如求1limxtxtxeBAe，A与B是常数。这是含参变量的极限，应该清楚，这样的极限往往与参变量是有关系的。但我们大多数同学在处理时会不加区别的使用罗必达法则，从而出现如下的错误：1limxtxtxeBAeAteAtextxtxlim。实际上，上面的过程只有在0t时才是正确的！而0t及0t两种情形未被考虑，因而结果必然是错误的。3．不能灵活使用罗必达法则，而是视其为万能的，以至有时会陷入“泥潭”。例如求)cot1(1lim0xxxx。这是一个未定式的极限，可以使用罗必达法则进行计算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用罗必达法则，计算起来就会很繁琐。比较合理的办法是先进行有理运算，然后进行化简或利用等价无穷小代换，最后再使用罗必达法则就简单多了。解法如下：原式3020cossinlimsincossinlimxxxxxxxxxxx31sinlim313sincoscoslim020xxxxxxxxx。教材中有类似的例题及练习题，希望大家在学习是认真体会。三、泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。四、关于函数性态的研究应注意以下几点：1．若)(xf为),(ba内的严格单调增加函数，且在),(ba内可导，则必有0)(xf。这一结论是不正确的。例如函数3)(xxf在区间)1,1(内的点0x就不满足结论。2．若0)(xf，则0x必为)(xf的极值点（或曰驻点一定为极值点）。此结论同样错误。当然，结论的逆命题也不正确。教材中有相应的例子，相信大家会很容易理解。所以在实际求极值时，除了驻点外还需要格外注意导数不存在的点。3．极大值必大于极小值。由于极值是函数在某点邻域内的局部性质，因而极大值与极小值没有必然的大小关系。也就是说，函数在某区间内的极大值不一定大于其在该区间内的极小值。五、不等式的证明本章的内容进一步丰富了不等式的证明方法。1．中值定理。...