第1页空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：〔1〕向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。〔2〕向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下〔如图〕。运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(运算法那么：三角形法那么、平行四边形法那么、平行六面体法那么3.共线向量。〔1〕如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba//。〔2〕共线向量定理：空间任意两个向量a、b〔b≠0〕，a//b存在实数λ，使a＝λb。〔3〕三点共线：A、B、C三点共线<=>ACAB〔4〕与a共线的单位向量为aa4.共面向量〔1〕定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。〔2〕共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的条件是存在实数,xy使pxayb。〔3〕四点共面：假设A、B、C、P四点共面<=>ACyABxAP第2页5.空间向量根本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc。假设三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,OABC是不共面的四点，那么对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC。6.空间向量的直角坐标系：〔1〕空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使zkyixiOA，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：①点A〔x,y,z〕关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)〔2〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示。空间中任一向量kzjyixa=〔x,y,z〕〔3〕空间向量的直角坐标运算律：①假设123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，那么112233(,,)abababab，②假设111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，那么212121(,,)ABxxyyzz。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：假设111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，PBAP，那么点P坐标为)1,1,1(212121zzyyxx。推导：设P〔x,y,z〕那么第3页),,(),(22211,1zzyyxxzzyyxx,显然，当P为AB中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP④),,(),,,(,,,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中，三角形重心P坐标为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxP⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。)(ACACABABAP〔单位向量〕外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心P：高的交点：PCPBPCPAPBPA〔移项，内积为0，那么垂直〕重心P：中线的交点，三等分点〔中位线比〕)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。〔4〕模长公式：假设123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，那么222123||aaaaaa，222123||bbbbbb〔5〕夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb。ΔABC中①0?ACAB<=>A为锐角②0?ACAB<=>A为钝角，钝角Δ〔6〕两点间的距离公式：假设111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，那么2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz7.空间向量的数量积。〔1〕空间向量的夹角及其表示：两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb，那么AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；假设,2ab，那么称a与b互相垂直，记第4页作：ab。〔2〕向量的模：设OAa，那么有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a。〔3〕向量的数量积：向量,ab，那么||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab。〔4〕空间向量数量积的性质：〔5〕空间向量数量积运算律：①()()()ababab。②abba〔交换律〕。③()abcabac〔分配律〕。④不满足乘...
