了解空间向量的基本定理/理解空间向量坐标的概念/掌握空间向量的坐标运算/掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式/掌握空间两点间的距离公式7.7空间向量的坐标运算1．空间向量的直角坐标运算律(1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(2)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的的坐标减去的坐标．2．模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则|a|＝3．夹角公式：cos〈a，b〉＝终点起点4．两点间的距离公式若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝或d(A，B)＝.5．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫做平面α的．法向量1．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点坐标为()A．(1，－3，－4)B．(－4,1，－3)C．(3，－1,4)D．(4，－1,3)解析：设A点关于原点的对称点坐标为(x，y，z)，则，∴x＝3，y＝－1，z＝4.答案：C2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝(3，λ，)，且a∥b，则λ等于()解析： a∥b，则b＝xa，∴，解得λ＝－.答案：C3．已知A(1，－2,3),B(4，－4，－3),C(2,4,3)，D(8,6,6)，则向量在向量方向上的射影A′B′＝________.解析：＝(4－1，－4＋2，－3－3)＝(3，－2，－6)，＝(8－2,6－4,6－3)＝(6,2,3)，而CD方向上的单位向量是∴A′B′＝·e＝(3，－2，－6)·.答案：4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n＝(－1,2)的直线(点法式)方程为－(x－2)＋2(y－1)＝0，化简后得x－2y＝0.类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1,3)，且法向量n＝(－1,2,1)的平面(点法式)方程为________．(请写出化简后的结果)答案：x－2y－z＋3＝0空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组．【例1】证明四点A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)在同一平面内．证明：＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)，若设，则(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，所以由①②得：把它代入③也成立，∴，因此A、B、C、D四点共面．变式1.若a＝(1,0,0)，b＝(1,1,0)，c＝(1,1,1)(1)试证a，b，c不共面；(2)试用a，b，c表示d＝(5,3,6)．解答：(1)证明：假设a，b，c共面，由a，b不共线知c＝λa＋μb，即(1,1,1)＝λ(1,0,0)＋μ(1,1,0)．∴此为矛盾，∴a，b，c不共面．(2)设d＝xa＋yb＋zc，则解得∴d＝2a－3b＋6c.此类题主要通过建立合理、恰当的空间直角坐标系后写出所证的向量的坐标，通过判定两向量的平行或垂直关系，进而达到判定两直线的平行或垂直关系．(1)平行问题⇒向量共线，注意重合．(2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量．【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别为所在棱A1B1、BB1、DD1的中点，P为棱BC上一点且PB＝3PC，AB＝1，(1)求证：PQ⊥AM，PQ⊥CN；(2)求.解答：(1)证明：如右图，建立直角坐标系D－xyz.则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，P(，1,0)，Q(0,0，)，故PQ⊥AM，PQ⊥CN.(2)＝(－1,1,0)，∴.变式2.已知M、N分别为正方体ABCD－A1B1C1D1棱A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为()解析：如图，建立直角坐标系D－xyz，设AA1＝1，则A、C、M、N四点的坐标分别为A(1,0,0)、C(0,1,0)、M(1，，1)、N(1，1，)．∴＝(0，，1)，＝(1,0，)因此异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：B利用向量可解决异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角以及点面距离问题，例如求直线与平面所成的角α，可求直线的方向向量a与平面法向量n的夹角，若〈a，n〉为锐角，则α＝－〈a，n〉；若〈a，n〉为钝角时，α＝〈a，n〉－.【例3】三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3.(1)求证：AB⊥BC；(2)设AB＝BC＝2，求AC与平面PBC所成角大小...
