第七章第五节直线、平面垂直的判定与性质(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β解析：易知A选项正确；对于B选项，m，n也可能异面；对于C选项；n也可能在α内；对于D选项α，β也可能相交，故选A.答案：A2．(2011·安徽十校联考)在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题的是()A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB.若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α解析：A显然不对，C、D中的直线l有可能在平面α内．故选B.答案：B3．(2011·西城模拟)若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()A．a∥β，α⊥βB．a⊂β，α⊥βC．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.答案：D4．下列命题中错误的是()A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上所有直线B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C．若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直解析：由线面垂直定义知，命题A正确；由面面垂直的判定定理知，命题B正确；一条直线垂直于一个平面的一条垂线时，此直线可能平行于这个平面，也可能在这个平面内，所以命题C是错误命题；由线面垂直判定定理知，命题D正确．答案：C5．(2011·西安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，tan∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°.专心爱心用心1答案：C6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有()A．DP⊥平面PEFB．DM⊥平面PEFC．PM⊥平面DEFD．PF⊥平面DEF解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP，又EP∩FP＝P，∴DP⊥平面PEF.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2011·扬州模拟)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)9．已知二面角M－l－N的平面角是60°，直线a⊥M，则直线a与平面N所成角的大小为________．解析：如图，二面角M－l－N中a⊥M，垂足为A，交平面N于B，过A作AC⊥l垂足为C.连结BC.根据三垂线定理有BC⊥l.所以∠ACB为二面角M－l－N的平面角．∠ACB＝60°， ∠⇒BAC＝90°⇒∠ABC＝30°.过A作AE⊥BC，垂足为E. ⇒AE⊥l，∴AE⊥平面N，∴∠ABC＝30°是直线a与平面N所成的角．答案：30°三、解答题10．(2011·济南模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形专心爱心用心2ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA1上的一点．(1)求证：CD⊥平面AEC；(2)若平面CBE交DD1于点F，求证：EF∥AD.证明：(1)因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以AA1⊥CD，即AE⊥CD.因为AC⊥CD，AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，AE∩AC＝A，所以CD⊥平面AEC.(2)因为AD∥BC，AD⊂...
