第四章第二节平面向量基本定理及坐标表示(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．设向量a＝(3，)，b为单位向量，且a∥b，则b＝()A．(，－)或(－，)B．(，)C．(－，－)D．(，)或(－，－)解析：设b＝(x，y)，由a∥b可得3y－x＝0，又x2＋y2＝1得b＝(，)或b＝(－，－)．答案：D2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝()A．3B．0C．5D．－5解析：由已知得：(a－c)＝(3－k，－6)，又∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，∴k＝5.答案：C3．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于()A．1B.C.D.解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)·(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案：B4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)解析：由题知，－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，又因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：A5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于()A.B．－C.D．－解析：∵m∥n，∴(b－c)cosA＝acosC，∴(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，易知sinB≠0，∴cosA＝.答案：C6．(2011·青岛模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则＝()专心爱心用心1A.a－(1＋)bB．－a＋(1＋)bC．－a＋(1－)bD.a＋(1－)b解析：根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(，1＋)，∴＝(－1,0)，＝(－1,1)，＝(－1,1＋)，令＝λ＋μ，则有，得，∴＝－a＋(1＋)b.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足|＋|＝|－|，则C点的轨迹方程是________．解析：由|＋|＝|－|知⊥，所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.答案：(x－1)2＋(y－2)2＝58．在△ABC中，D是BC边的中点，已知A(1,1)，＝(－1，－3)，＝(3,5)，则C点的坐标为________．解析：∵＝＋＝＋2＝－2＝(－1，－3)－(6,10)＝(－7，－13)，设O为坐标原点，∴－＝(－7，－13)，∴＝＋(－7，－13)＝(1,1)＋(－7，－13)＝(－6，－12)．即点C的坐标为(－6，－12)．答案：(－6，－12)9．(2011·天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a与b不共线，即2m－3≠3m，∴m≠－3.答案：{m|m∈R，m≠－3}三、解答题10．已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及＝＋t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．专心爱心用心2解：(1)∵＝(1,2)，＝(3,3)，∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；若点P在第三象限，则解得t＜－.(2)若四边形OABP成为平行四边形，则＝，∴∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．11．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.证明：显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P、G、Q三点共线，得∥，所以有且只有一个实数λ，使＝λ.而＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋(n－)b，所以(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．又因为a、b不共线，所以，消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.12．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－.又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.专心爱心用心3
