专题限时集训(八)[第8讲平面向量及其应用](时间：45分钟)1．已知平面向量a＝(3，1)，b＝(x，3)，且a⊥b，则实数x的值为()A．9B．1C．－1D．－92．已知|a|＝2sin75°，|b|＝4cos75°，a与b的夹角为30°，则a·b的值为()A.B.C．2D.3．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于()A．－10B．－6C．0D．64．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是()A．30°B．60°C．90°D．120°5．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.6．△ABC中，∠C＝60°，且CA＝2，CB＝1，点M满足BM＝2AM，则CM·CA＝()A．4＋B．2C．7D．97．若△ABC是锐角三角形，向量p＝(sinA，cosA)，q＝(sinB，－cosB)，则p与q的夹角为()A．锐角B．直角C．钝角D．以上均不对8．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA＋AB＋AC＝0，|OA|＝|AB|，则CA·CB等于()A.B.C．3D．29．已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若AP＝λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围是()A.，1B.，1C．1，D．(1，2)10．a＝，cosx，b＝(sinx，1)，x∈，若a∥b，则a·b＝________．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC中的外心，则AO·BC的值为________．12．已知向量a＝－，，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为________．13．已知A，B，C是△ABC的三个内角，a＝(sinB＋cosB，cosC)，b＝(sinC，sinB－cosB)．(1)若a·b＝0，求角A；1(2)若a·b＝－，求tan2A.14．已知函数f(x)＝sinπx＋cosπx，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)设函数f(x)在[－1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求PM与PN的夹角的余弦．15．已知向量m＝sin，1，n＝cos，cos2.(1)若m·n＝1，求cosx＋的值；(2)设函数f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(A)的取值范围．专题限时集训(八)【基础演练】1．C[解析]依题意，由a⊥b得a·b＝0，即3x＋3＝0，解得x＝－1.故选C.2．B[解析]依题意，得a·b＝|a||b|cos30°＝2sin75°·4cos75°×＝2sin150°＝.故选B.3．A[解析]由a∥b得2x＝－4，∴x＝－2，于是a·b＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选2A.4．D[解析]由a·(a＋b)＝0得a·a＋a·b＝0，即|a|2＋|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，将已知数据代入解得，cos〈a，b〉＝－，所以〈a，b〉＝120°.故选D.【提升训练】5．C[解析]依题意a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝cos＝.故选C.6．C[解析]因为∠C＝60°，CA＝2，CB＝1，所以∠B＝90°，以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系，C(1，0)，A(0，)，M(0，2)，CM·CA＝(－1，2)·(－1，)＝7.7．A[解析]由题设知p·q＝sinAsinB－cosAcosB＝－cos(A＋B)＝cosC.又△ABC是锐角三角形，所以cosC>0，即p·q>0，所以p与q的夹角为锐角．故选A.8．C[解析]取BC边中点M，由2OA＋AB＋AC＝0，可得2AO＝AB＋AC＝2AM，则点M与点O重合．又由|OB|＝|OC|＝|OA|＝|AB|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×＝，则CA·CB＝|CA|·|CB|cosC＝|CA|2＝3.9．B[解析]因为点G是△ABC的重心，所以AG＝×(AB＋AC)＝AB＋AC.当点P在线段BC上运动时，λ＋μ＝1；当点P在线段GB、GC上运动时，λ＋μ的最小值为.又因为点P是△GBC内一点，所以<λ＋μ<1.故选B.10.[解析]因为a∥b，所以×1＝sinx·cosx，即sin2x＝1.又因为x∈，所以2x＝，即x＝.于是a·b＝sinx＋cosx＝sin＋cos＝×＋＝.11．8[解析]依题意得OA2＝OB2＝OC2，由于AC2＝(OC－OA)2＝OC2＋OA2－2OC·OA，所以OC·OA＝(OC2＋OA2－AC2)，同理OA·OB＝(OA2＋OB2－AB2)，所以AO·BC＝－OA·(OC－OB)＝－OA·OC＋OA·OB＝－(OA2＋OC2－AC2)＋(OA2＋OB2－AB2)＝(AC2－AB2)＝(52－32)＝8.12．1[解析]依题意，得|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|.又|OA|＝|OB|，故|a－b|＝|a＋b|，得a·b＝0，则|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OA|＝|OB|＝.于是S△AOB＝××＝1.13．解：(1)由a·b＝0得(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝0，化简得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，即sinA...
