2011届高考数学第一轮点拨复习之指数函数与对数函数测试题VIP专享VIP免费

指数函数和对数函数复习回顾综合脉络1.以指数函数、对数函数为中心的综合网络2.指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据):0a(NlogbNaab且)1a指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线xy对称,指数函数与对数函数的性质可以自己总结做表对比。3.指数函数,对数函数是高考重点之一指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数,高考中既考查双基,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.典型例题讲解:例1.定义在R上的函数)x(f满足)x(f)4x(f，当6x2时，,n)21()x(f|mx|31)4(f．(1)求nm,的值；(2)比较)mlog(f3与)nlog(f3的大小．解：（1） )x(f)4x(f,∴)6(f)2(f,4m31n)21(n)21(|m6||m2|. 31)4(f,∴30n31n)21(|44|,(2) ,644log524log133∴,30)21()44(logf)4(logf)m(logf4log3333而,)21()21(3081log4log,30)21()30(logf)n(logf3081log4log333081log33333∴)n(logf)m(logf33用心爱心专心例2．方程lgx+x=3的解所在区间为（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标0x，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较0x与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此0x＞2，从而判定0x∈(2，3)，故本题应选C．说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．例3.设a＞0,f(x)＝xxeaae是R上的奇函数.(1)求a的值;(2)试判断f(x)的反函数f－1(x)的奇偶性与单调性.解：(1)因为)x(f在R上是奇函数,所以)0a(1a0aa10)0(f,(2))x(f)Rx(24xxln)x(f12124xxln224xxln2)x(f1,)x(f1为奇函数.用定义法可证)x(f1为单调增函数.(也可用原函数证明)例4.是否存在实数a,使函数f(x)＝)xax(log2a在区间]4,2[上是增函数?如果存在,说明a可以取哪些值;如果不存在,请说明理由.解：设xax)x(u2,对称轴a21x.(1)当1a时,1a0)2(u2a21;用心爱心专心(2)当1a0时,81a00)4(u4a21.综上所述:1a例5．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．R恒成立．说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3x＜-3x+9x+2得用心爱心专心上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．例6．已知函数f(x)=logm33xx(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］...