《立体几何与空间向量》学案【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；会用向量工具求空间的角和距离【问题导学】阅读教材，完成下列问题：1.建构知识网络2．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量．(2)向量相等：方向且长度．(3)向量加法法则：．(4)向量减法法则：．(5)数乘向量法则：．3．线性运算律(1)加法交换律：a＋b＝．(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝．(3)数乘分配律：(a＋b)＝．4．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使．(3)直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使．5．共面向量(1)共面向量：平行于的向量．(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P．共面向量定理的推论：．6．空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量．(2)空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使．空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使．7．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：．(2)空间向量的长度或模：．(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝．空间向量的数量积的常用结论：(1)cos〈a、b〉＝；(2)ïaï2＝；(3)ab．(4)空间向量的数量积的运算律：(5)交换律a·b＝；(6)分配律a·(b＋c)＝．8.设a＝，b＝(1)a±b＝(2)a＝．(3)a·b＝．(4)a∥b；ab．(5)设则＝，．AB的中点M的坐标为．9.求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则.（3）二面角：①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；②求两个法向量的夹角（或补角）.10.求距离（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由得距离公式：_a_nNMHθ（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.【问题探究】例1.如图已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.例2如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.例3.如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.【课堂训练】1.如图在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.2.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。（第三题）（第二题）3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．4.如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求与平面所成角的大小．5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．【自主小结】
