2014年(苏教版理科数学)高考三轮考前抢分：90分解答题与40分附加题——猜想(39)(含答案)VIP免费

解(1)由S1＝12a1＋1a1得，a21＝1，而an＞0，所以a1＝1.由S2＝12a2＋1a2得，a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1.又由S3＝12a3＋1a3得，a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.(3分)(2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)．(4分)①当n＝1时，a1＝1＝1－1－1，猜想成立；②假设n＝k(k≥1)时猜想成立，即ak＝k－k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak.即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，(6分)化简得a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，解得ak＋1＝k＋1－k＝k＋1－k＋1－1，即n＝k＋1时猜想成立，(9分)综上，由①、②知an＝n－n－1(n∈N*)．(10分)【例2】已知x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列．(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项．思路分析(1)由展开式中前三项的系数成等差数列，建立方程求n的值．(2)展开式中系数最大的项的系数应满足大于前一项的系数，还大于后一项的系数，由此建立关系式，确定r的值．解(1)由题设，得C0n＋14×C2n＝2×12×C1n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去)．(3分)(2)设第r＋1的系数最大，则12rCr8≥12r＋1Cr＋18，12rCr8≥12r－1Cr－18.(5分)即18－r≥12r＋1，12r≥19－1.解得r＝2或r＝3.(8分)所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x.(10分)反思点评1.关于二项式定理(1)二项式定理主要题目类型：①证明某些整除问题或求余数．②证明有关不等式．(2)解题方法归纳：①利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧．②由于(a＋b)n的展开式共有(n＋1)项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．而对于整除问题，关键是拆成两项后，利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除．2．关于数学归纳法(1)要验证初始值成立．(2)要运用归纳假设，根据归纳假设进行适当的变形．(3)用数学归纳法的两个步骤缺一不可．【训练1】在正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a2n≤an－an＋1成立，(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明由a2n≤an－an＋1得an＋1≤an－a2n∵在数列{an}中an＞0，∴an＋1＞0，∴an－a2n＞0，∴0＜an＜1故数列{an}中的任意一项都小于1.(4分)(2)解由(1)知0＜an＜1＝11，那么a2≤a1－a21＝－a1－122＋14≤14＜12，由此猜想：an＜1n(n≥2)．(6分)下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，显然成立；②当n＝k时(k≥2，k∈N*)时，假设猜想正确，即ak＜1k≤12，那么ak＋1≤ak－a2k＝－ak－122＋14＜－1k－122＋14＝1k－1k2＝k－1k2＜k－1k2－1＝1k＋1，∴当n＝k＋1时，猜想也正确综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜1n.(10分)【训练2】设数列{an}满足：a1＝－5，an＋1＝2an＋3n＋1，已知存在常数p，q使数列{an＋pn＋q}为等比数列．解方程an＝0.解由条件令an＋1＋p(n＋1)＋q＝k(an＋pn＋q)，则an＋1＝kan＋(kp－p)n＋kq－q－p，故k＝2，kp－p＝3，kq－q－p＝1⇒k＝2，p＝3，q＝4.又a1＋p＋q＝2，∴an＋3n＋4＝2·2n－1，∴an＝2n－3n－4.(5分)计算知a1＝－5，a2＝－6，a3＝－5，a4＝0，a5＝13.故猜测n≥5时，an＞0，即2n＞3n＋4，下证：①当n＝5成立；②假设n＝k(k≥5)时成立，即2k＞3k＋4，那么当n＝k＋1时，2k＋1＞2·(3k＋4)＝6k＋8＞3k＋7＝3(k＋1)＋4，故当n＝k＋1时成立，由①②可知，命题成立．故方程an＝0的解为n＝4.(10分)【感悟提升】