函数与方程思想VIP专享VIP免费

专题：函数与方程四川省仁寿县钟祥中学余仁宏6205931.函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是从问题的数量关系入手分析数学问题中的等量关系,从而建立方程或方程组或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函数与方程这种相互转化的关系十分重要.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.2.函数与方程思想一直是数学最本质的思想之一，是高中数学的一条重要主线，新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来.3.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体性质与图象特征，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，迅速构造出有关的函数解析式并能恰当使用其性质或图象，顺利解决问题.4.函数与方程思想的应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现考生的能力水平，是考查创新实践能力的良好载体和首选载体，另外它对考生的理解能力，应用数学知识的能力，以及数学思维能力等都有较高层次要求，备考过程中要加强训练.经典例题：【例1】（2009·江苏调研）已知命题“在公差不为零的等差数列{}中，若，则=78”为真命题，由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得其中的数为。.分析由=78，可得关于与d的方程,设括号内数为x,可得关于，d的方程，联立可解得x=17.解析设等差数列{}公差为d,首项为,括号内为x,依题意有：解得.探究拓展用方程的思想建立关于基本量的等式，通过解方程（组），使问题得以解决，是处理数列问题的基本方法与思路.数列中基本量一般指首项、公差d、公比q、项数n、第n项、前n项和,关联式为,方程思想的应用，使各基本量之间关系表现的形象生动，备考者要细细体会，牢固掌握.变式训练1若复数z满足条件（1+i）z=1-i，则z=.解析设z=a+bi(a,b∈R),则(1+i)(a+bi)=1-i，整理有(a-b)+(a+b)i=1-i,【例2】（2009·南京调研）如图所示,半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点.若P为半径OC上的动点，则（PA+PB）·PC的最小值是..解析设PC长为x(0≤x≤1)，则PO长为1-x,依题意，O为AB中点，所以问题转化为求函数的最小值问题.,当时，有最小值。故的最小值为。答案：探究拓展将题设条件恰当转化，有时可转化为函数问题，借助函数相关知识，使问题顺利解决.其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其取值范围的确定，不同的量作未知数，所得的函数解析式不同，自变量的取值范围不同，解决问题的过程繁简程度也不同，这就要求备考者在备考中要有优化解题过程的意识.变式训练2已知的最值。解：又即，当时，当时，【例3】（2008·南京调研）已知数列{}是公差为d的等差数列，它的前n项和为，。（1）求公差d的值；（2）若，求数列{}中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N*，都有成立，求的取值范围.（好！）解（1） ⑵，所以数列的通项公式为.,函数在上是单调函数，；当时，⑶由又函数在上均是单调减函数，且 对任意的n∈N*，都有,∴7<<8.∴-7<<-6.∴的取值范围是（-7，-6）.探究拓展解决数列问题，似乎永远离不了函数与方程思想，因为数列实质是特殊的函数，回归函数后，便于使用函数的性质与图象等工具解决数列问题，从本例中可见一斑.函数的单调性结合定义在正自然数集上的数列，便确定了最大项与最小项，若作出函数图象，则使结论更加明显.因此，可以说“学数列离不了函数”.数列基本量间的关系是靠方程维系的，基本量间的互求当然离不了方程(组)的建立，如本例第(1)问.变式训练3，则数列的最大项是第项.解析当且仅当,即时，取得最大值，又又即同时取得最大项。规律方法总结1.函数...