第一章集合与函数概念第一章章末归纳总结专题一集合学习中的注意点剖析集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．1．注意正确理解、运用集合语言[例1](1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝________；(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝()A．(0,1)，(0,2)B．{(0,1)，(0,2)}C．{y|y＝1或y＝2}D．{y|y≥1}[分析]首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集．[解析](1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝Ø.(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝M.故选D.[答案](1)Ø(2)D规律总结：学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的．2．注意元素的互异性[例2]已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．[解析]由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0.当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2.同理a≠－1.故a＝0.规律总结：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验．3．注意空集的特殊性[例3]已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．[分析]集合A是关于x的方程的解集．集合A至多有一个真子集有两种情况：一是集合A恰有一个真子集，二是没有真子集，即集合A为空集．[解析]若A＝Ø，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，则a≠0，且Δ＝4－4a<0，解得a>1.若集合A恰有一个真子集，这时集合A中仅有一个元素．可分为两种情况：(1)a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－12；(2)a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，a＝1.综上，当集合A至多有一个真子集时，实数a的取值范围为{a|a≥1，或a＝0}．规律总结：(1)解决本题要读懂至多有一个真子集的含义，要知道空集的性质，即空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)涉及集合间的关系和运算的有关问题，如A⊆B，A∩B＝Ø，A∪B＝B等都有可能涉及集合A或B为空集的情形．专题二二次函数的单调性与最大(小)值求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．[例4]已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围．(1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]；(2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．[分析]此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．[解析]函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a.(1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1，∴a＝2.(2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.(3)由于函数在[－1,2]上单调，应满足1－a≤－1或1－a≥2，∴a≥2或a≤－1.[例5]已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1,1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．[分析]欲求f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)，需考虑f(x)在[－1,1]上的单调性，而f(x)在[－1,1]上的单调性与对称轴相对于区间[－1,1]的位置有关，即对称轴在区间[－1,1]之左、之内、之右时，f(x)在[－1,1]上的单调性不同．因此需关于对称轴相对于区间[－1,1]上的位置展开讨论．[解析]对二次函数...
