湖北省武汉市江夏一中高三数学集合与简易逻辑培优辅导材料三一、教学内容集合与简易逻辑二、学习指导1．集合是近代数学的基础，简易逻辑为数学学习和运用知识解决问题提供了知识上的准备，表达上的规范和思维上的严密，因此是历年高考的必考点.通常以小题的形式呈现，一、是考查集合知识的应用，如求不等式的解集；二、是考查命题的形式及等价性、充要条件的判定；三、是考查数学语言能力、逻辑推理能力和分析问题的能力及数学思想的运用.2．理解集合的有关概念，掌握集合的符号语言及子集、交集、并集、补集、全集的有关概念，注意数形结合思想的运用，自觉利用韦恩图、数轴、函数图象帮助解题，强化集合语言和思想的运用，如求函数的定义域、值域、方程与不等式的解集、解析几何的曲线等，注意利用A∪B＝ABAA∩B＝B等价转化.3．理解命题、复合命题的概念和“或”、“且”、“非”等逻辑联结词的含义，掌握复合命题真假的判定和命题的四种形式及等价性，掌握充要条件的三种判定方法.简易逻辑沟通代数、几何、三角等知识，贯穿于整个高中数学之中.三、典型例题【例1】2005年·浙江设f（n）＝2n+1（n∈N），P＝{1，2，3，4，5}，Q＝｛3，4，5，6，7｝，记＝｛n∈N︱f(n)∈P｝，＝{n∈N︱f(n)∈Q}，则（∩N）∪（∩N）＝（Ａ）A．{0，3}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{1，2，6，7}【解析】由已知得，＝{0，1，2}，＝{1，2，3}，∴（∩N）∪（∩N）＝{0}∪{3}＝{0，3}，故选A.【评析】求解集合运算有关问题时，先理解集合的意义，在这里求出集合，是关键，再依据集合运算定义直接求解.变式题设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝.【例2】已知集合A＝{0，2，3}，B＝{x︱x＝ab，a，b∈A}，则集合B的子集的个数是（C）A．4B．8C．16D．15【解析】如果a，b中至少有1个为零，则ab＝0；如果a＝b＝2，则ab＝4；如果a＝b＝3，则ab＝9；如果，则ab＝6，于是B＝{0，4，6，9}，∴B有24＝16个子集.【评析】求集合M的子集的个数问题：（1）先求出集合M，再直接利用下面结论求解.一般地，集合A＝{a1，a2，…，an}共有2n个子集，有2n－1个真子集.（2）是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.变式题已知集合Ｇ＝x︱︱cosx︱＝，x∈（－，），则集合Ｇ的真子集的个数是（）A．7B．8C．15D．16【例3】设有两个命题，p：不等式︱x︱+︱x+1︱＞a的解集为R；q：函数f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是（A）A．［1，2）Ｂ.（２，］C．［2，］D．（1，2］【解析】记A＝{a︱不等式︱x︱+︱x+1︱＞a的解集为R}，B＝{a︱f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上是增函数}，由于函数y＝︱x︱+︱x+1︱的最小值是1，∴A＝{a︱a＜1}.由于f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上递增，∴7－3a＞1，即a＜2，∴B＝{a︱a＜2}.用心爱心专心117号编辑1又p或q为真，p且q为假，∴p与q中有且仅有一个正确，即a的取值范围是［ＲＡ∩B］∪［ＲB∩A］，而RA∩B＝［1，2）（ＲB）∩＝故选Ａ.【评析】利用集合的方法来判断命题的真假，解决简易逻辑问题，体现了集合的应用，能把合种关系清晰地描绘出来．【例４】设f（x）是Ｒ上的减函数，且f（0）＝３，f（３）＝－１，设P={x︱︱f（x+t）－1︱＜2}，Ｑ＝{x︱f（x）＜－1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（C）A．t≤0B．t≥0C．t≤－3D．t≥－3【解析】P＝{x︱︱f（x+t）－1︱＜2}＝{x︱－1＜f（x+t）＜3}＝{x︱f（3）＜f（x+t）＜f（0）}＝{x︱0＜x+t＜3}＝{x︱－t＜x＜3－t}，Q＝{x︱x＞3}.又由已知得：PQ，∴－t≥3，∴t≤－3，故选C.【评析】本题是函数不等式与充要条件的综合问题，解题关键一是利用单调性转化为一般的代数不等式；二是利用集合间的包含关系来判断充要条件。变式题设集合U＝{（x，y）︱x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）︱2x－y+m＞0}，B＝{（x，y）︱x+y-n≤0}，那么点P（2，3）是Ｐ∈A∩（CUB）的充要条件是（）A．m＞－1，n＜5B．m＜－1，n＜5C．m＞－1，n＞5D．m＜－1，n＞5【例5】对于函数f（x），若f...
