第5课时与圆有关的比例线段习题2.5(第40页)1．解如图所示，设两条弦相交于P，PA＝12，PB＝18，PD∶PC＝3∶8.令PD＝x，则PC＝x.由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，∴12×18＝x2.∴x＝9(cm)．即PD＝9cm.∴PC＝×9＝24cm.故CD＝24cm＋9cm＝33cm.2．解如图(1)是轴纵断面图，图(2)是圆头部分的图形，其中弦CD＝30，直径AB＝72，且AB⊥CD于M，因此BM就是圆头部分的长．设BM＝x，由相交弦定理得MC·MD＝MB·MA.而MC＝MD，∴2＝MB·MA＝(AB－MB)·MB.∴152＝(72－x)x.解得x≈36±33，∴x1≈69，x2≈3.∴轴的全长可能是160＋69＝229，或者160＋3＝163.3．证明如图所示，延长CP与圆相交于点D.∵OP⊥PC，∴PC＝PD.∵PA·PB＝PC·PD，∴PC2＝PA·PB.4．解设⊙O的半径为x.∵PO＝PC＋x，∴PC＝PO－x＝12－x.又PB＝PA＋AB＝6＋7＝.∵PA·PB＝PC·PD，∴6×＝(12－x)(12＋x)．解得x＝8.5．证明∵NMQ与NBA是⊙O′的割线，∴NM·NQ＝NB·NA，而PQ是⊙O′的切线，∴NB·NA＝PN2.∴PN2＝NM·NQ.6．证明∵PA是⊙O的切线，∴MA2＝MB·MC.∵M是PA的中点，∴MP＝MA.∴MP2＝MB·MC.∴＝.又∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB＝∠MCP.7．证明如图所示，连接GC.∵∠1和∠2是同弧上的圆周角，∴∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CF⊥AB，∴∠2＝90°－∠ABD，∠3＝90°－∠ABD.∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.又∠CDH＝∠CDG，CD＝CD∴Rt△CHD≌Rt△CGD.∴DH＝DG.8．证明如图所示，连接OC，则∠AOC的度数等于弧的度数．∵∠CDE的度数等于弧度数的一半，而＝，∴∠AOC＝∠CDE.∴∠POC＝∠PDF.又∵∠DPF＝∠OPC，∴△POC∽△PDF.∴＝.∴PO·PF＝PC·PD.又∵PC·PD＝PB·PA，∴PO·PF＝PB·PA.9．解如图(1)所示，∵DG和FE是圆内相交的弦，图(1)∴CF·CE＝CD·CG.∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE.∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，即＝.而∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC∵∠AEC＝∠G，∴∠ACD＝∠G.∴AC∥FG.图(2)如果∠BAD＝∠CAD，如图(2)所示，连接BC，BD，BG，BE.∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD.∴BD＝CD.∠ABD＝∠ACD.∵∠ACD＝∠1，∠ABD＝∠2，∴∠1＝∠2.∴＝，∴∠3＝∠4.∴△ABE≌△ACE.∴BE＝CE.∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AE⊥BC.∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上．∵AB＝AC，EB＝EC，∴AB＋EC＝AC＋EB.①由①可以推出，四边形ABEC存在内切圆(证明略)．
