高考数学一轮总复习 第八篇 第6讲 空间中向量的概念和运算 理 湘教版VIP免费

第6讲空间中向量的概念和运算A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案A2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝()．A．－4B．－2C．4D．2解析 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案D3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()．A．0B.C.D.解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0；解析 MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案③6.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝________.解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案0三、解答题(共25分)7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC)．(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解(1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，∴MA，MB，MC共面．(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1、G、C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．(1)证明CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，即A1、G、C三点共线．(2)证明设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0， CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.(3)解 CA1＝a＋b＋c，∴CA12＝a2＋b2＋c2＝3a2，即|CA1|＝a，因此|CG|＝a.即C到平面BC1D的距离为a.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·九龙坡模拟)以下四个命题中正确的是()．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案B2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，...