第6讲抛物线A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.B．1C.D.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3， p＝，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点的横坐标为＝.答案C2．(·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()．A．2B．18C．2或18D．4或16解析设P(x0，y0)，则∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.答案C3．(·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()．A.B.C．－D．－解析由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA|＝5，|FB|＝2，FA·FB＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.答案D4．(·山东)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()．A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析 －＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·巫溪模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．解析依题意，有F，直线l为y＝x－，所以A，△OAF的面积为××＝8.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16.答案166．(·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．答案2三、解答题(共25分)7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.因为－1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.8．(13分)(·温州十校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解(1)由e＝＝＝，得＝.又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝，则a＝.(2)法一由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()．A．9B．6C．4D．3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，由FA＋FB＋FC＝0，可得x1＋x2＋x3＝3，又由抛物线的定义可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋3＝6.答案B2．(·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()．A.B.C．2D.－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l...
