高考数学一轮复习 5.1 平面向量的概念及线性运算 理 苏教版VIP免费

5.1平面向量的概念及线性运算1．设a、b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．解析因为BD＝BC＋CD＝2a－b，又A、B、D三点共线，所以存在实数λ，使AB＝λBD.即，∴p＝－1.答案－12．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析如图设AB＝a，AD＝b，则AC＝AB＋AD＝a＋b，AF＝AB＋BF＝a＋b，AE＝AD＋DE＝a＋b，所以AE＋AF＝(a＋b)＝AC，即AC＝AE＋AF.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=.解析=+=-=-=-(-)=+,∴λ=.答案4．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋2OB＋2OC＝0，则△ABC和△BOC的面积之比为________．解析以OB，OC为邻边作▱OBEC，OE交BC于D，如图，由已知条件2OB＋2OC＝－OA，则AO＝2OE＝4OD，即AD＝5OD，因此＝＝.答案5∶15．在△ABC中，点M满足MA＋MB＋MC＝0，若AB＋AC＋mAM＝0，则实数m的值为________．解析由AB＋AC＋mAM＝0，得MB－MA＋MC－MA－mMA＝0，即－(2＋m)MA＋MB＋MC＝0.又MA＋MB＋MC＝0，所以－(2＋m)＝1，m＝－3.答案－36．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．解析设D是BC边中点，则AB＋AC＝2AD，于是由条件得AP＝λAD，即P在中线所在直线AD上，所以P点轨迹必过△ABC的重心．答案重心7．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.解析依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以解得k＝，λ＝－.答案－8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析(等价转化法)OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.9．如图所示，在△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE＝________(用a，b表示)．解析BE＝BA＋AE＝BA＋AD＝BA＋(AB＋BD)＝BA＋AB＋BD＝－AB＋×BC＝－AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC＝－a＋b.答案－a＋b10.已知AD是△ABC的中线,=λ+μ(λ,μ∈R),那么λ+μ=.解析=+=+=+(-)=+.答案111．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．解析如图，设AM＝，AN＝，以AM，AN为邻边构作▱AMDN，则该▱AMDN是边长为1的菱形，所以AD平分∠BAC，于是由AP＝λAD知动点P必过△ABC的内心．答案内12．e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知AB＝e1－ke2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2.若A，B，D三点共线，则k的值是________．解析BD＝CD－CB＝e1－2e2，又A、B、D三点共线，则AB＝λBD，即∴k＝2.答案213．在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设AM＝xAB，AN＝yAC(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．解析因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以AE＝AD＝(AB＋AC)．又AB＝AM，AC＝AN，所以AE＝AM＋AN.因为M，E，N三点共线，所以＋＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)＝≥＝.答案二、解答题14．设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)设OM＝ma，ON＝nb，OP＝αa＋βb，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，求证：＋＝1.解析(1)证明： AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，∴AB与BC共线．又有公共端点B，∴A、B、C三点共线．(2) 8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.(3)证明： M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得MP＝λPN，∴OP＝＝a＋b. a、b不共线，∴...