高考数学一轮复习 8.5 空间向量及其运算 理 苏教版VIP免费

8.5空间向量及其运算一、填空题1．给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.正确命题的序号是________．解析只有命题③是正确命题．答案③2.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若ab,则x=;若a∥b，则x=.解析 ab,∴ab=(2-8-;若a∥b,而a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),∴b=-2a.答案-63．以下四个命题中正确的是________(填序号)．①空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示②若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0④任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案②4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0；解析 MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案③5．给出下列四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的序号是________．解析其中①③为正确命题．答案①③6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴∴t＝，μ＝，λ＝.答案7．如图，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案08．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________________．解析 OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋ON－OM＝OA＋×(OB＋OC)－×OA＝OA＋OB＋OC∴x，y，z的值分别为，，.答案，，9.设,xyR，向量4,2,,1,1,cybxa，且cbca//,，则_______ba解析2402,//(3,1)10242xxacbcabyy.答案1010.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于_______．解析设又.则.∴由得∴∴||=5.答案511．在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c.设OA与BC所成的角为θ，则OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)＝a2＋a·AC－a2－a·AB＝24－16.∴cosθ＝＝＝.答案12．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________．解析设BD＝a，AB＝b，AC＝c由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|－c＋b＋a|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，则|CD|＝2.答案2cm13．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12＝3，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0.故④也不正确．答案①②二、解答题14.已...