9.1直线的方程一、填空题1．直线l经过P(－4,6)，与x轴，y轴交于A，B两点，当P为AB中点时，则直线l的方程为________．解析设A(a,0)，B(0，b)，则所以直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋24＝0.答案3x－2y＋24＝02．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－.则有－＝2，所以k＝－24.答案－243．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则有________．①ab＞0，bc＞0②ab＞0，bc＜0③ab＜0，bc＞0④ab＜0，bc＜0解析数形结合可知－＞0，－＞0，即ab＜0，bc＜0.答案④4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析(1)若直线过原点，则k＝－，∴y＝－x，即4x＋3y＝0.(2)若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.答案x＋y＋1＝0或4x＋3y＝05．设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是________．解析当cosθ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－. cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．∴tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈∪.综上知，倾斜角的范围是.答案6.若直线1在x轴上的截距为1,则实数m是_______．解析直线过点(1,0),∴1.解得m=2或.答案2或7．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．解析 kMN＝＝1，∴m＝1.答案18．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．解析由已知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线AB相交，则kPA≤k≤kPB， kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.答案9．不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0，恒过定点________．解析把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得：(x＋2)m－(x＋y－1)＝0则得答案(－2,3)10.从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上,则经y轴反射的光线所在的直线方程为.解析由题意得,射出的光线方程为即x-2y+4=0,与y轴交点为(0,2),又(2,3)关于y轴对称点为(-2,3),∴反射光线所在直线过(0,2),(-2,3),故方程为即x+2y-4=0.答案x+2y-4=011．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)，(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．解析由题意知：＝，整理得：2a＋2b＝－ab.∴＋＝－.答案－12．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，则截距之和最小时直线的方程为________．解析设方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，将(1,4)代入得＋＝1，a＋b＝(a＋b)＝5＋≥9，当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，所以直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.答案2x＋y－6＝013．在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义：d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知点B(1,0)，点M为直线x－2y＋2＝0上的动点，则使d(B，M)取最小值时点M的坐标是________．解析设M(x0，y0)，则x0－2y0＋2＝0，d(B，M)＝|x0－1|＋|y0|＝|x0－1|＋＝所以当x0＝1时，d(B，M)取最小值，此时y0＝，所以M.答案二、解答题14．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)，求BC边的中线所在的直线方程．解析因为BC边的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为：＝，即7x－y－11＝0.15．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解析建立如图所示的直角坐标系，则E(30,0)，F(0，20)，所以线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝PQ·PR＝(100－m)(80－n)．又＋＝1，所以n＝20.所以S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．所以当m＝5时，S有最大值，这时＝＝5∶1.故当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．16．已知直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)斜率为；(2)过定点P(－3,4)．解析(1)设直线l的方程为y＝x＋b，直线l与x轴、y轴交于点M、N，则M(－2b,0)，N(0，b)，所以S△M...
