14.2矩阵与变换解答题1.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下得到曲线F，求F的方程．解析设P(x，y)是椭圆4x2＋y2＝1上的任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′，y′)，则有＝，即所以.又因为点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝1上，所以4()2＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.故曲线F的方程为x2＋y2＝1.【点评】线性变换是基本变换，解这类问题关键是由＝A得到点P′(x′，y′)与点P(x，y)的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M.解析设M＝，则＝，＝，即解得所以M＝.3．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝的变换作用下的曲线方程．解析设P′(x′，y′)是圆C：x2＋y2＝4上的任一点，设P(x，y)是P′(x′，y′)在矩阵A＝对应变换作用下新曲线上的对应点，则＝＝，即所以将代入x2＋y2＝4，得＋y2＝4，故方程为＋＝1.4．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值．解析在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)．A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′.因为＝，所以点A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以点B′的坐标为(－2a，－8)．由题意，点A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.5．求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解析设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x，y)由＝，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以×＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.6.已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．解析由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，即；由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，＝，即，解得即＝，逆矩阵是.7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2，0)，C(－2,1)，设k为非零实数，M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解析由题设得MN＝＝.由＝，＝，，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知|k|＝2×1＝2.所以k的值为－2或2.8．已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．解析由题设得MN＝＝，设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0，所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.
