第5讲空间向量及其运算分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的序号是________．解析其中①③为正确命题．答案①③2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则BM用a，b，c表示为________．解析BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.答案－a＋b＋c3．(·苏州期末)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值是________．解析由题意知：解得或答案2，或－3，4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．解析b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值为.答案5.如图，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案06．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.解析由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝. 〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.答案60°二、解答题(每小题15分，共30分)7．若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.解ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1) (ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，解得k＝－.(2) (ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.解得k＝.8.如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．解(1)设AB＝p，AC＝q，AD＝r.由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN＝AN－AM＝(AC＋AD)－AB＝(q＋r－p)，∴MN·AB＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2·cos60°＋a2·cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知，MN＝(q＋r－p)．∴|MN2|＝MN2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝＝×2a2＝.∴|MN|＝a，∴MN的长为a.分层训练B级创新能力提升1．(·常州月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为________．解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝a.答案a2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0；解析 MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案③3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析|a|＝＝3，|b|＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|sin〈a，b〉＝.答案4．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12＝3，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0.故④也不正确．答案①②5．已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1...
