证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全资料VIP专享VIP免费

1证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、利用数列的单调性例1．证明：当Znn,6时，(2)12nnn.证法一：令)6(2)2(nnncnn，则0232)2(2)3)(1(1211nnnnnnnnnncc,所以当6n时，1nncc.因此当6n时，66831.644ncc于是当6n时，2(2)1.2nn证法二：可用数学归纳法证.(1)当n=6时，66(62)48312644成立.(2)假设当(6)nkk时不等式成立，即(2)1.2kkk则当n=k+1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2kkkkkkkkkkkkkk由(1)、(2)所述，当n≥6时，2(1)12nn.二、借助数列递推关系例2.已知12nna.证明：23111123nnNaaa.证明：nnnnnaa121121212211211111，∴32])21(1[321)21(...12111112122132nnnaaaaaaS.例3.已知函数f(x)=52168xx，设正项数列na满足1a=l，1nnafa．(1)试比较na与54的大小，并说明理由；(2)设数列nb满足nb=54－na，记Sn=1niib．证明：当n≥2时,Sn＜14(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)因为10,0,nnaa所以1680,02.nnaa215548()52553444168432(2)22nnnnnnnaaaaaaa,因为20,na所以154na与54na同号，因为151044a，250,4a350,4a⋯，50,4na即5.4na（2）当2n时，1111531531()422422nnnnnnbaabaa113125224nnbb，所以2131212222nnnnnbbbb，所以3121(12)11114(21)422124nnnnnSbbb.例4.已知不等式],[log21131212nn其中n为不大于2的整数，][log2n表示不超过n2log的最大整数。设数列na的各项为正且满足111),0(nnnannaabba)2n（.证明：][log222nbban，5,4,3n.证明：由11nnnannaa得：naann1111,naann1111)2(n,111121naann,⋯,211112aa,以上各式两边分别相加得：21111111nnaan，2111111nnban][log2112nb=bnb2][log22，][log222nbban)3(n.三、裂项放缩例5.求证:35191411)12)(1(62nnnn解析:因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk又1111)1(143132111914112nnnnnn3当3n时,)12)(1(61nnnnn,当1n时,2191411)12)(1(6nnnn,当2n时,2191411)12)(1(6nnnn,所以综上有35191411)12)(1(62nnnn.例6.已知21nna，12xfx，求证：121126nnTbfbfbfn．证明：由于11111212111111222212121212121nnnnnnnnnnbfn1222311111111122121212122121nnnnTbfbfbfn1111111212212126n．例7.已知xxxf2)(，数列na的首项)(,2111nnafaa.(1)求证：nnaa1；(2)求证：6n时2112111111naaa.证明：⑴nnnaaa21， 211a，∴naaa,,32都大于0，∴02na，∴nnaa1.（2）nnnnnnnaaaaaaa111)1(11121，∴11111nnnaaa.故11113221211211111111111111nnnnnaaaaaaaaaaaa 4321)21(22a,143)43(23a,又 nnaan12，∴131aan.∴21211na,∴2111111121naaa.四、分类放缩例8.当,3Znn，时，求证:21214131211nn证明:当21nn，时不等式显然成立.）（）（）（nnnn21212121212121212121112141312113333222n.例9.已知22[2(1)]3nnna.证明：对任意整数4m，有8711154maaa.分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。4而左边=232451113111[]221212(1)mmmaaa，如果我们把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121，43432121121121，因此，可将1212保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数)4(m时，maaa11154)11()11(11654mmaaaaa)212121(2321243m)211(4123214m832187（2）当m是奇数)4(m时，1m为偶数，8711111111165454mmmaaaaaaaa.所以对任意整数4m，有maaa1115487。五、利用函数单调性（导数）放缩例10.已知函数()ln1fxxx,数列na满足101a,1nnafa;数列nb满足1111,(1)22nnbbnb,*nN.求证:（Ⅰ）101;nnaa（Ⅱ）21;2nnaa（Ⅲ）若12,2a则当n≥2时,!nnban.分析：第（1）问用数学归纳法证明；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01na,*nN.（1）当n=1时,由已知得结论成立；（2）假设...