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高考数学第一轮复习 坐标系与参数方程细致讲解练 理 新人教A版选修44VIP免费

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【创新设计】(教师用书)届高考数学第一轮复习坐标系与参数方程细致讲解练理新人教A版选修4-4第1讲坐标系[最新考纲]1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知识梳理1.极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O点引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的极径,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=ρcosθ,y=ρsin_θ.另一种关系为ρ2=x2+y2,tanθ=.2.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a;(3)直线过M且平行于极轴:ρsinθ=b.3.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.诊断自测1.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为________.解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.答案2.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.解析 ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.答案x2+y2-4x-2y=03.(·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.解析ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1,联立方程,得解得即两曲线的交点为(-1,1),又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为.答案4.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点到直线l的距离为________.解析 直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),∴点到直线l的距离为2.答案25.在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρ∈R)的距离是________.解析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解,极坐标系中的圆ρ=4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为:x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线θ=转化为平面直角坐标系中的方程为y=x,即x-3y=0.∴圆心(0,2)到直线x-3y=0的距离为=.答案考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】(1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点M的直角坐标(-,-1)化成极坐标.解(1) x=-5cos=-,y=-5sin=-,∴点M的直角坐标是.(2)ρ===2,tanθ==. 点M在第三象限,ρ>0,∴最小正角θ=.因此,点M的极坐标是.规律方法(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.【训练1】(1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点P的直角坐标(,-)化成极坐标.(ρ>0,0≤θ<2π)解(1)x=8cos=-4,y=8sin=4,因此,点M的直角坐标是(-4,4).(2)ρ==2,tanθ==-,又因为点在第四象限,得θ=.因此,点P的极坐标为.考点二直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴...

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