常考问题4导数的综合应用[真题感悟](·江苏卷)设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解(1)令f′(x)＝－a＝0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1
令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna．当x0
又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以lna>1，即a>e
综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝ex－a>0，解得alna，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有lna≤－1，即00，得f(x)存在唯一的零点；(ⅱ)当a0时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．(ⅲ)当00，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝ex－2x>h′(2)＝e2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数．进而当x>e时，h(x)＝ex－x2>h(e)＝ee－e2>0
即当x>e时，ex>x2
当0a－1时，f′(x)＝－a
