培优提升------平面几何部分5【例1】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．53OABCDEF53OABCDE【解析】如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三点在一条直线上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．根据面积比例模型，的面积为．【例2】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．ABCDOEFABCDOE【解析】如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()．又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．那么()，所以()．【例3】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．【例4】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA33321FEDCBAABCDEFFEDCBA【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，1ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，3ABFS△份，3AEFEFCSS△△份，如图所标所以551212DCEFABCSS△方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS△△，11212233ADEADCABCSSS△△△，所以11ABDADESBFFES△△，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS△△△△，而211323CDEABCSS△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?xyyxABCDEFGGFEDCBA33GFEDCBA213【解析】设1DEFS△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS△阴影平方厘米.【例5】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．ABCDOHGABCDO【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABDBDCAOOCSS，∴236OC，∴:6:32:1OCOD．解法二：作AHBD于H，CGBD于G．∵13ABDBCDSS，∴13AHCG，∴13AODDOCSS，∴13AOCO，∴236OC，∴:6:32:1OCOD．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？ABCDG321【解析】⑴根据蝴蝶定理，123BGCS，那么6BGCS；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC．
