高考数学一轮复习 第二章 第1讲 相似三角形的判定及有关性质知识点 新人教A版 VIP免费

第1讲相似三角形的判定及有关性质最新考纲1.了解平行线等分线段定理和平行截割定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB．诊断自测1.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则BC′′＝________．解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案2．(·广东卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．解析 △AEF∽△CDF，∴＝＝32＝9.答案93.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________．解析在Rt△ADB中，DB＝＝，依题意得，△ADB∽△ACE，∴＝，可得EC＝＝2.答案24.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析 E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB.又 Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝.故△ADE与△ABC的相似比为1∶.答案1∶5.(·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________．解析如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此＝.答案考点一平行截割定理的应用【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析由⇒＝＝＝，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又＝，∴AB＝.答案规律方法利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h2，S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.答案7∶5考点二相似三角形的判定及性质【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED，CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明 E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1， ∠1＝∠2，∴∠2＝∠A， ∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC， ∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴＝，∴FD2＝FB·FC.规律方法(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．【训练2】(·陕西卷)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．解析 PE∥BC，∴∠C＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠P为公共角，所以△PDE∽△PEA，∴＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.答案考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2...