第6讲二倍角、简单的三角恒等变换分层训练A级基础达标演练(时间:30分钟满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1.(·大纲全国卷)已知α∈,sinα=,则tan2α=________.解析由α∈,sinα=,得cosα=-,tanα=-,所以tan2α==-.答案-2.若=-,则cosα+sinα的值为________.解析由=-(sinα+cosα)=-,得sinα+cosα=.答案3.已知函数f(x)=cos2-sin2+sinx,若x0∈且f(x0)=,则cos2x0=________.解析f(x)=cosx+sinx=sin,由f(x0)=,得sin=.又x0∈,所以x0+∈,所以cos=,所以cos2x0=sin=2sincos=.答案4.(·南京29中月考)已知钝角α满足cosα=-,则tan的值为________.解析因为cosα=2cos2-1=-,所以cos2=.又α∈,所以cos=,sin=,tan=2,所以tan==-3.答案-35.(·河南三市调研)函数y=sincosx的最小值是________.解析y=sincosx=cosx=sinxcosx-cos2x=sin2x-=sin-,最小值为--=-.答案-6.已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ,则cos2α=________.解析由sin2α=4sin2β,tan2α=9tan2β相除,得9cos2α=4cos2β,所以sin2α+9cos2α=4sin2β+4cos2β=4,所以cos2α=,cos2α=2cos2α-1=-.答案-二、解答题(每小题15分,共30分)7.(·北京卷)已知函数f(x)=4cosx·sin-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=4cosxsin-1=4cosx-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin,所以f(x)的最小正周期为π.(2)≤因为-x≤≤,所以-2x≤+.于是,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.8.已知函数f(x)=2sincos-sin(x+π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=sin+sinx=cosx+sinx=2sin,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为g(x)=f=2sin=2sin,且x∈[0,π],所以x+∈,所以当x+=,即x=时,g(x)取最大值2;当x+=,即x=π时,g(x)取最小值-1.分层训练B级创新能力提升1.(·福建卷改编)若α∈,且sin2α+cos2α=,则tanα=________.解析由sin2α+cos2α=sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=,得cos2α=.又α∈,所以cosα=,tanα=.答案2.函数f(x)=1-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的值域为________.解析f(x)=1-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=1-2sin2x+4cos2xsin2x=1-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2因为sin2x∈[-1,1],所以f(x)∈[0,4].答案[0,4]3.已知=1,tan(β-α)=-,则tan(β-2α)等于________.解析由=1得=1,∴tanα=,从而tan(β-2α)=tan(β-α-α)===-1.答案-14.(·南通调研)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,-1),B(-3,-4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且|OC|=,则点C的坐标是________.解析如图,α+2β=90°,sinα=,cosα=,所以sin(90°-2β)=.即cos2β=,从而2cos2β-1=,cosβ=,sinβ=.所以tan(α+β)===3.所以直线OC的方程为y=3x,于是由==,且x<0,得x=-1,y=-3,C(-1,-3).答案(-1,-3)5.已知向量a=(1-tanx,1),b=(1+sin2x+cos2x,0),记函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的解析式,并指出它的定义域;(2)若f=,且α∈,求f(α).解(1)f(x)=a·b=(1-tanx)(1+sin2x+cos2x)=·(2cos2x+2sinxcosx)=2(cos2x-sin2x)=2cos2x.定义域为.(2)因为f=2cos=,所以cos=,且2α+∈,所以sin=.所以f(α)=2cos2α=2cos=2coscos+2sinsin=.6.(·南京29中月考)(1)设0<α<π,π<β<2π,若对任意的x∈R,都有关于x的等式cos(x+α)+sin(x+β)+cosx=0恒成立,试求α,β的值;(2)在△ABC中,三边a,b,c所对的角依次为A,B,C,且2cos2C+sin2C=3,c=1,S△ABC=,且a>b,求a,b的值.解(1)由cos(x+α)+sin(x+β)+cosx=0,得(cosα+sinβ+)cosx+(cosβ-sinα)sinx=0.由关于x的恒等式成立,得即代入sin2β+cos2β=1,解得cosα=-.又0<α<π,∴α=.∴cosβ=sinα=.又π<β<2π,∴β=.(2)由2cos2C+sin2C=3,得sin2C+cos2C=2,∴sin2C+cos2C=1,即sin=1,∴2C+=,C=.于是由c=1,S△ABC=,得即又a>b,所以解得a=2,b=.