高考数学一轮复习 第四章 第6讲 二倍角、简单的三角恒等变换配套限时规范训练 理 苏教版VIP免费

第6讲二倍角、简单的三角恒等变换分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·大纲全国卷)已知α∈，sinα＝，则tan2α＝________.解析由α∈，sinα＝，得cosα＝－，tanα＝－，所以tan2α＝＝－.答案－2．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．解析由＝－(sinα＋cosα)＝－，得sinα＋cosα＝.答案3．已知函数f(x)＝cos2－sin2＋sinx，若x0∈且f(x0)＝，则cos2x0＝________.解析f(x)＝cosx＋sinx＝sin，由f(x0)＝，得sin＝.又x0∈，所以x0＋∈，所以cos＝，所以cos2x0＝sin＝2sincos＝.答案4．(·南京29中月考)已知钝角α满足cosα＝－，则tan的值为________．解析因为cosα＝2cos2－1＝－，所以cos2＝.又α∈，所以cos＝，sin＝，tan＝2，所以tan＝＝－3.答案－35．(·河南三市调研)函数y＝sincosx的最小值是________．解析y＝sincosx＝cosx＝sinxcosx－cos2x＝sin2x－＝sin－，最小值为－－＝－.答案－6．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，则cos2α＝________.解析由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，所以cos2α＝，cos2α＝2cos2α－1＝－.答案－二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·北京卷)已知函数f(x)＝4cosx·sin－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝4cosxsin－1＝4cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为π.(2)≤因为－x≤≤，所以－2x≤＋.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.8．已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为g(x)＝f＝2sin＝2sin，且x∈[0，π]，所以x＋∈，所以当x＋＝，即x＝时，g(x)取最大值2；当x＋＝，即x＝π时，g(x)取最小值－1.分层训练B级创新能力提升1．(·福建卷改编)若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝________.解析由sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝，得cos2α＝.又α∈，所以cosα＝，tanα＝.答案2．函数f(x)＝1－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的值域为________．解析f(x)＝1－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝1－2sin2x＋4cos2xsin2x＝1－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2因为sin2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]．答案[0,4]3．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)等于________．解析由＝1得＝1，∴tanα＝，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.答案－14．(·南通调研)在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝，则点C的坐标是________．解析如图，α＋2β＝90°，sinα＝，cosα＝，所以sin(90°－2β)＝.即cos2β＝，从而2cos2β－1＝，cosβ＝，sinβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝3.所以直线OC的方程为y＝3x，于是由＝＝，且x＜0，得x＝－1，y＝－3，C(－1，－3)．答案(－1，－3)5．已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x,0)，记函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；(2)若f＝，且α∈，求f(α)．解(1)f(x)＝a·b＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)＝·(2cos2x＋2sinxcosx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.定义域为.(2)因为f＝2cos＝，所以cos＝，且2α＋∈，所以sin＝.所以f(α)＝2cos2α＝2cos＝2coscos＋2sinsin＝.6．(·南京29中月考)(1)设0<α<π，π<β<2π，若对任意的x∈R，都有关于x的等式cos(x＋α)＋sin(x＋β)＋cosx＝0恒成立，试求α，β的值；(2)在△ABC中，三边a，b，c所对的角依次为A，B，C，且2cos2C＋sin2C＝3，c＝1，S△ABC＝，且a>b，求a，b的值．解(1)由cos(x＋α)＋sin(x＋β)＋cosx＝0，得(cosα＋sinβ＋)cosx＋(cosβ－sinα)sinx＝0.由关于x的恒等式成立，得即代入sin2β＋cos2β＝1，解得cosα＝－.又0<α<π，∴α＝.∴cosβ＝sinα＝.又π<β<2π，∴β＝.(2)由2cos2C＋sin2C＝3，得sin2C＋cos2C＝2，∴sin2C＋cos2C＝1，即sin＝1，∴2C＋＝，C＝.于是由c＝1，S△ABC＝，得即又a>b，所以解得a＝2，b＝.