限时集训(六)函数的单调性与最值(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2)B．y＝－C．y＝xD．y＝x＋2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>03．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]4．(·潍坊模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c5．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A.B.C．(0，＋∞)D.6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有()A．最小值f(a)B．最大值f(b)C．最小值f(b)D．最大值f二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．8．(·东城模拟)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．9．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．11.已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.12．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式fx1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝－－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，∴f＝，f(2)＝2.∴易得a＝.11．解：(1)证明：任取x1，x2∈R,且x10，∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(2)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝2f(2)－1，∴f(2)＝3.而f(3m2－m－2)<3，∴f(3m2－m－2)0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<.∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴解得－≤x<－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.
