限时集训(七十六)不等式证明的基本方法(限时：40分钟满分：50分)1．(满分10分)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，求实数a的最小值．2．(满分10分)(·沈阳模拟)已知a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.3．(满分10分)(·南京模拟)已知x、y、z均为正数，求证：≤.4．(满分10分)(·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.5．(满分10分)求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．答案限时集训(七十六)不等式证明的基本方法1．解析：∵2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.2．证明：法一：∵a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥.法二：∵a2＋b2＋c2－＝a2＋b2＋c2－＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0∴a2＋b2＋c2≥.法三：∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，即3(a2＋b2＋c2)≥1，∴a2＋b2＋c2≥.3．证明：由柯西不等式得(12＋12＋12)＋＋≥＋＋2，则×≥＋＋，即≤.4．解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9.5．证明：(利用放缩法)：∵n≥2，∴＋＋…＋＞＋＋…＋＝＞.即＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．
