[第25讲平面向量的概念及其线性运算](时间：35分钟分值：80分)1．[·石家庄模拟]若四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形图K25－12．如图K25－1，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b如图，则向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e23．[·邯郸一模]在△ABC所在的平面内有一点P，如果2PA＋PC＝AB－PB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝λCA＋μCB，则的值为()A．1B.C．2D.5．在△ABC中，D为BC的中点，已知AB＝a，AC＝b，则在下列向量中与AD同向的向量是()A.＋B.－C.D．|a|a＋|b|b6．[·长春模拟]设OA＝e1，OB＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP|∶|PB|＝2，如图K25－2所示，则OP＝()图K25－2A.e1－e2B.e1＋e2C.e1＋e2D.e1－e27．[·沈阳模拟]在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA，OB，OC满足OC＝a1OA＋a2014OB，三点A，B，C共线且该直线不过O点，则S2014等于()A．1007B．1006C．2010D．20128．[·长春质检]已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________．9．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是________．10．在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝________．(用e1，e2表示)11．[·郑州模拟]已知m>0，n>0，向量a＝(m，1)，b＝(1－n，1)且a∥b，则＋的最小值为________．12．(13分)已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．(1)求实数x，使两向量AB，CD共线；(2)当向量AB与CD共线时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？13．(12分)已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP＝OA＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．课时作业(二十五)【基础热身】1．B[解析]由AB＋CD＝0知，AB＝DC，即AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又(AB－AD)·AC＝0，∴DB·AC＝0，即AC⊥BD，因此四边形ABCD是菱形，故选B.2．C[解析]连接图中向量a与b的终点，并指向a的终点的向量即为a－b，∴a－b＝e1－3e2.3．A[解析]2PA＋PC＝AB－PB，即2PA＋PC＝AB＋BP＝AP，即PC＝3AP，即点P在边AC上且PC＝AC，即△PBC与△ABC在BC边上的高的比是，两三角形具有相同的底，故面积之比为.4．C[解析]CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，∴λ＝，μ＝，∴＝2.【能力提升】5．C[解析]是a＋b的单位向量，a＋b与向量AD同向．6．C[解析]∵AP＝2PB，∴AB＝AP＋PB＝3PB，OP＝OB＋BP＝OB－AB＝OB－(OB－OA)＝e1＋e2.7．A[解析]由题意知，a1＋a2014＝1，又数列{an}为等差数列，所以S2014＝×2014＝1007，故选A.8．1[解析]因为a－2b与c共线，向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，a－2b＝(，3)，所以3－3k＝0，k＝1.9．－1[解析]∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD，即∴p＝－1.10．－e1＋e2[解析]∵NC＝AC＝e2，∴CN＝－e2.∵BM＝MC，BM＋MC＝BC＝AC－AB＝e2－e1，∴MC＝(e2－e1)，∴MN＝MC＋CN＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.11．3＋2[解析]由a＝(m，1)，b＝(1－n，1)且a∥b可得m＝1－n，即m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝1＋＋＋2≥3＋2，当且仅当＝时取等号．12．解：(1)AB＝(x，1)，CD＝(4，x)．∵AB∥CD，∴x2－4＝0，即x＝±2.(2)当x＝±2时，AB∥CD.当x＝－2时，BC＝(6，－3)，AB＝(－2，1)，∴AB∥BC，此时A，B，C三点共线，从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．但x＝2时，A，B，C，D四点不共线．【难点突破】13．解：依题意，由OP＝OA＋λa＋λb，得OP－OA＝λ(a＋b)，即AP＝λ(AB＋AC)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则AP＝λAD，∴A，P，D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点(或△ABC的重心)．
