专题八┃综合性问题（一）┃以函数图像为背景的动态问题（一）┃考点分析考点分析在函数图像的基础上引入几何问题有关的动态问题，逐渐成为各地市中考数学的压轴题．解决这一问题，既要掌握初中各阶段的代数和几何的重要知识点和多种数学思想方法，又要有较强的分析问题的能力．抓住动态问题的实质“化动为静，变中求不变”，找出关键点．（一）┃热点探究热点探究例1[2012年·烟台25题]如图X8－1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E.图X8－1（一）┃热点探究(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线对应的函数表达式；(2)过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．题干关键词：矩形ABCD、A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C、PE⊥AB、EF⊥AD、四边形为菱形提示：(1)利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式；(2)考察待定系数法、图形与坐标变换、三角形的面积公式；(3)菱形是邻边相等的平行四边形．（一）┃热点探究解：(1)A(1，4),由题意，可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4， 抛物线过点C(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.（一）┃热点探究(2) A(1，4)，C(3，0)∴可求直线AC对应的函数表达式为y＝－2x＋6. 点P(1，4－t)，∴将y＝4－t代入y＝－2x＋6中，解得点E的横坐标为x＝1＋t2，∴点G的横坐标为1＋t2，代入抛物线对应的函数表达式中，可求点G的纵坐标为4－t24.∴GE＝4－t24－(4－t)＝t－t24.又点A到GE的距离为t2，C到GE的距离为2－t2，∴S△ACG＝S△AEG＋S△CEG＝12·EG·t2＋12·EG·2－t2＝12·2t－t24＝－14(t－2)2＋1.当t＝2时，S△ACG的最大值为1.(3)t＝2013或t＝20－85.（一）┃热点探究例2[2012年·福州22题]如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．①②图X8－2(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．（一）┃热点探究题干关键词：经过A(3，0)、B(4，4)两点、OB向下平移、△POD∽△NOB提示：(1)待定系数法求出二次函数表达式即可；(2)考查抛物线与直线只有一个公共点；(3)综合利用几何变换和相似关系求解．解：(1) 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)，∴9a＋3b＝0，16a＋4b＝4，解得a＝1，b＝－3.∴抛物线对应的函数表达式是y＝x2－3x.（一）┃热点探究(2)设直线OB的表达式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1.∴直线OB对应的函数表达式为y＝x.∴直线OB向下平移m个单位长度后对应的函数表达式为：y＝x－m. 点D在抛物线y＝x2－3x上．∴可设D(x，x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上，∴x2－3x＝x－m，即x2－4x＋m＝0. 抛物线与直线只有一个公共点，∴16－4m＝0，解得m＝4.此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴D点坐标为(2，－2)．（一）┃热点探究(3) 直线OB对应的函数表达式为y＝x，且A(3，0)，∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0，3)．设直线A′B对应的函数表达式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，∴4k2＋3＝4，解得：k2＝14.∴直线A′B对应的函数表达式是y＝14x＋3. ∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A′B上，∴设点Nn，14n＋3，又点N在抛物线y＝x2－3x上，∴14n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－34，n2＝4(不合题意，舍去)，∴点N的坐标为－34，4516.（一）┃热点探究方法一：如图①，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1－34...
