一、空间向量及其运算1．空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中，具有大小和方向的量叫做向量．方向相同且模相等的有向线段表示同一向量或相等向量．与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量．(2)空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等．2．共线向量与共面向量(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量(或平行向量)．(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量；空间中的任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是∃λ∈R，使a＝λb.推论：如图，如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是∃t∈R，使OP→＝OA→＋ta.(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x，y，使p＝xa＋yb.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任一定点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.3．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．4．在空间直角坐标系中，若点P的坐标为(x，y，z)，则向量OP→的坐标为(x，y，z)．二、空间向量的坐标运算1．一条直线的方向向量有无数个．2．所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的向量，一个平面的法向量也有无数个．3．若直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则有：(1)l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(2)l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝k·a2，b1＝k·b2，c1＝k·c2(k≠0)．4．向量a与b的夹角记作〈a，b〉，其范围是[0，π]．如果夹角〈a，b〉＝π2，称向量a与b垂直．5．已知空间两个向量a、b，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉(向量表示)＝x1x2＋y1y2＋z1z2(坐标表示)．6．空间向量数量积公式的变形及应用．已知a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)判断垂直：a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.(2)求向量的模：|a|＝x12＋y12＋z12.(3)求向量夹角：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.7．空间两点间距离公式．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.1．下面有四个命题：①单位向量都相等；②对任意非零向量a、b必有|a＋b|≤|a|＋|b|；③空间的基底有且只有一个；④对于空间的基底a、b、c而言，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．①④D．②③解析：①单位向量方向可以不同；②类比三角形的边的关系知；③④空间只要三个不共面的向量构成一个基底，并能线性表示任何向量．答案：B2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A.13，1，1B．(－1，－3,2)C.－12，32，－1D．(2，－3，－22)解析：若a∥b，则a＝λb，有－12，32，－1＝－12(1，－3,2)．答案：C3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为89，则λ等于()A．2B．－2C．－2或255D．2或－255解析：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝6－λ3λ2＋5＝89，则λ＝－2或255.答案：C4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简式子：DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→＝________.解析：DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→＝BA→＋BC→＋BB→1＝BD→＋BB→1＝BD→＋DD→1＝BD→1.答案：BD1→1．空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容．2．零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免对零向量的遗漏．3．λa是一个向量，若λ＝0，则λa＝0；若λ≠0，a＝0，则λa＝0.4．讨论向量的共线、共面问题时，注意零向量与任意向量平行，共线与共面向量均不具有传递性．5．(1)数量积运算不满足消去律，即a·b＝b·c⇒a＝c.(2)数量积的运算不适合乘法结合律，即(a·b)·c...
