课后作业(七)一、选择题1．(2013·广东六校联考)函数y＝log2的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称2．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝ln3．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝lgx，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则()A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a4．(2013·肇庆模拟)已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数5．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.C.D．a2二、填空题6．函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．7．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________．8．(2012·上海高考)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________．三、解答题9．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．11．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．1解析及答案一、选择题1．【解析】由＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1，1)，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，∴函数y＝log2为奇函数．【答案】A2．【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．【答案】D3．【解析】∵a＝f()＝f(－)＝－f()＝－lg，b＝f()＝f(－)＝－f()＝－lg，c＝f()＝f()＝lg.∴b＞a＞c.【答案】A4．【解析】由题意f(x)与g(x)的定义域均为(－1，1)，又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选D.【答案】D5．【解析】∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.【答案】B二、填空题6．【解析】由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.【答案】－17．【解析】∵f(x＋2)＝，2∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.【答案】－8．【解析】由g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，得f(1)＝g(1)－2＝－1.∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3.【答案】3三、解答题9．【解】(1)f(x)＝要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，∴当a∈(－2，2)时，f(x)有最小值．(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0，设x＞0，则－x＜0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4∴g(x)＝10．【解】(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[1，2]时，2－x∈[0，1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1，2]．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.11．【解】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，3∴f(x－1)＜2f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x－1|＜16，解之得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．4
