课后作业(二十七)平面向量的数量积一、选择题1．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于()A．25B．24C．－25D．－242．(2013·广州模拟)若向量a,b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．03．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．104．已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为()A．30°B．60°C．120°D．150°5．(2013·广州综合测试)已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3，4)，b＝(0，2)，则|a×b|的值为()A．－8B．－6C．6D．8二、填空题6．(2012·湖北高考)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．7．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________．8．(2013·湛江模拟)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA＝－2i＋j，OB＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．三、解答题9．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．11．(2013·揭阳模拟)已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|AC|＝|BC|，求的值；(2)若(OA＋2OB)·OC＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】∵|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，∴AB⊥BC，即AB·BC＝0，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝CA(BC＋AB)1＝CA·AC＝－CA2＝－25.【答案】C2．【解析】∵a⊥c，∴a·c＝0，又∵a∥b，则设b＝λa，∴c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.【答案】D3．【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x＝2，∴a＝(2，1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝＝＝＝.【答案】B4．【解析】∵(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－，|a＋b|＝＝＝＝，∴cosθ＝＝＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】D5．【解析】因为a＝(－3，4)，b＝(0，2)，所以cosθ＝＝＝，且θ∈[0，π]，则sinθ＝，故|a×b|＝|a||b|sinθ＝5×2×＝6.【答案】C二、填空题6．【解析】(1)∵2a＋b＝(3，1)，∴|2a＋b|＝＝.∴与2a＋b同向的单位向量＝(，)．(2)∵b－3a＝(－2，1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，(b－3a)·a＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.【答案】(1)(，)(2)－7．【解析】(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos60°＝2，则a＋b在a方向上的投影为＝2.【答案】28．【解析】由题意知OA＝(－2，1)，OB＝(4，3)，则|OA|＝，|OB|＝5，OA·OB＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos∠AOB＝＝＝－，∴sin∠AOB＝，∴S△OAB＝|OA||OB|sin∠AOB＝××5×＝5.【答案】52三、解答题9．【解】∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－，当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1，2)，∴∴λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线．综上可知，λ＞－且λ≠0.10．【解】(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.11．【解】∵A(1，0)，B(0，1)，C(2sinθ，cosθ)，∴AC＝(2sinθ－1，cosθ)，BC＝(2sinθ，cosθ－1)．(1)|AC|＝|BC|，∴＝，化简得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，∴＝＝＝－5.(2)OA＝(1，0)，OB＝(0，1)，OC＝(2sinθ，cosθ)，∴OA＋2OB＝(1，2)，∵(OA＋2OB)·OC＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴(sinθ＋cosθ)2＝，∴sinθ·cosθ＝－.3
