4.4.1参数方程的意义VIP专享VIP免费

参数方程的意义江苏省黄桥中学姚娟新课导入投篮问题：设一物体自原点作斜抛运动，与Ox轴的夹角为α，初速度的大小为v(m/s)，不计空气阻力，如何求出该物体的运动轨迹方程？数学建构P(x,y)xyOvvxvyα斜抛运动水平方向：匀速运动竖直方向：上拋运动tvxx221gttvyycosvtx221singtvty分析引入辅助变量-时间tx,y的间接联系ttt设物体抛出t秒时的位置是P(x,y)曲线的xy方程参数方程cosvt221-singtvttftg一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数),(),(tgytfx反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x,y)都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数.)(),(tgytfx)(),(tgytfx注意参数t的取值范围例1.如图，以O为圆心，分别以a，b为半径（a˃b˃0）作两个圆，自O作一条射线分别交两圆于M，N两点，自M作MT⊥Ox，垂足为T，自N作NP⊥MT，垂足为P，求点P的轨迹的参数方程．数学运用yPφOxMNST(x,y)选择参数时注意这几点：①参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示；②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围.解：设轨迹上任意一点为P(x,y)，点M的横坐标为xM，点N的纵坐标为yN，以Ox为始边，OM为终边的角为φ(φ为参数).由三角函数的定义得，x=xM=OMcosφ=acosφ，y=yN=ONsinφ=bsinφ.sincosbyax思考：点P的轨迹是什么曲线？因此，所求轨迹的参数方程是(φ为参数).例2.过抛物线y2=4x的顶点O任作互相垂直的两条弦OA，OB，交抛物线于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程．数学运用解：不妨设点A在第一象限，设轨迹上任意一点为M(x,y)，OA的斜率为k，k是参数(k>0)，则OA的方程为y=kx，OB的方程为由得同理，则因此，所求轨迹的参数方程是(k为参数，k>0).xky1xykxy42)4,4(2kkA)4,4(2kkBkkykkx22222222222kkxxxBAkkyyyBA222OAyxBM(1)建立平面直角坐标系，设曲线上任意一点P的坐标为(x，y)；二、求参数方程的一般步骤(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点P的坐标与参数的函数关系式；(4)写出参数方程时要注意参数的取值范围．（角、斜率、时间等）取值范围；并注意参数的(2)选取适当的参数，如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x正半轴、y正半轴上移动，顶点P在第一象限，求点P的轨迹的参数方程．课堂练习解:法一设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO＝π2－θ.在Rt△OAB中，OB＝acos(π2－θ)＝asinθ.在Rt△QBP中，BQ＝acosθ，PQ＝asinθ.∴点P的轨迹的参数方程为x＝asinθ＋cosθ，y＝asinθ(θ为参数，0＜θ＜π2)．如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x正半轴、y正半轴上移动，顶点P在第一象限，求点P的轨迹的参数方程．课堂练习法二设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q，如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．∵OA＝a2－t2，∴BQ＝a2－t2.∴点P的轨迹的参数方程为x＝t＋a2－t2，y＝t(t为参数，0＜t＜a)．如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x正半轴、y正半轴上移动，顶点P在第一象限，求点P的轨迹的参数方程．课堂练习课堂小结1.参数方程的概念参数方程：(t为参数)2.求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点P的坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数（角、斜率、时间等），并注意参数的取值范围；(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点P的坐标与参数的函数关系式；(4)写出参数方程时要注意参数的取值范围．3.本节课主要的数学思想方法有：数形结合思想、函数与方程思想．)(),(tgytfx