高中数学竞赛讲义-向量与向量方法-新人教A版VIP专享VIP免费

§10向量与向量方法（一）1．（2004年上海春季高考题）在ΔABC中，有命题①ABACBC�；②0ABBCCA�；③若()()0ABACABAC�，则ΔABC为等腰三角形；④若0ACAB�，则ΔABC为锐角三角形.上述命题正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④2．已知O为坐标原点，OM�＝(－1，1)，NM�＝(－5，－5)，集合A＝{OR�||RN|＝2}，OP�、OQ�∈A，(,0)MPMQR�，则MP�·MQ�＝_________________.3．已知向量a＝－e1+3e2+2e3，b＝4e1－6e2+2e3，c＝－3e1+12e2+11e3，问a能否表示成a＝λ1b+λ2c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．4．已知a，b是两非零向量，若a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a，b的夹角．5．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3.求|3a+b|的值.引申已知向量a，b满足|a|＝|b|＝r，11||abR，试求22||ab的值.6．设A、B、C、D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(Ax，Ay)，B(Bx，By)，C(Cx，Cy)，D(Dx，Dy)，且它们中任意三点不共线．试证明：四边形ABCD为正方形的充要条件为(Bx－Ax，By－Ay)＝(Cx－Dx，Cy－Dy)，且(Bx－Ax)(Cx－Bx)+(By－Ay)(Cy－By)＝0.7．如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：22221234||||||||PPPPPPPP�为定值.8．如图，设P1，P2，P3，…，Pn，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：22212nPPPPPP�为定值.OPP1P4P3OPnP1P9．空间有十个点A1，A2，…，A10，试求一个点P，使2221210PAPAPA为最小.10．如图，空间四边形ABCD中，点E分AB�及点F分DC�所成的比均为，则111EFADBC�.11．一个物体受到同一个平面内三个力F1�、F2�、F3�的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1�|＝2N，方向为北偏东30°；|F2�|＝4N，方向为东偏北30°；|F3�|＝6N，方向为西偏北60°，求合力所作的功.12．设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且AMCNACCE＝，若B、M、N共线，求的值.HGFEDCBAPF·BCDENMAyxOF3�F1�F2�S�13．如图，在ΔOAB中，OCOA14�，ODOB12�，AD与BC交于M点，设OAa�，OBb�.(1)用a，b表示OM�；(2)已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OEpOA�，OFqOB�，求证：pq13177.14．（2002年高考试题）已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使MP�·MN�，PM�·PN�，NM�·PN�成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标是(x0，y0)，为PM�与PN�的夹角，求tan．DABCEFOM