课后作业(五十一)抛物线一、选择题1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．42．(2013·中山调研)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．164．(2012·全国课标卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()A.B．2C．4D．85．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2二、填空题6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．7．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．8．(2012·陕西高考)如图8－7－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.图8－7－2三、解答题图8－7－39．如图8－7－3所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.1(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．10．(2013·韶关质检)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．图8－7－411．(2013·汕尾模拟)如图8－7－4所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解析及答案一、选择题1．【解析】因为椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2，0)，则p＝4.【答案】D2．【解析】 |AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.【答案】C3．【解析】由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2，0)，设A点的坐标为(－2，n)，则＝－，解得n＝4，又PA⊥l，由(4)2＝8x，得x＝6.∴|PF|＝x＋＝8.【答案】B4．【解析】设C：－＝1. 抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.2【答案】C5．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，∴①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.【答案】B二、填空题6．【解析】由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离．故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.【答案】x2＝12y7．【解析】 y2＝4x的焦点为F(1，0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝(x－1)，将其代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0.∴x＝或x＝3.又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2.∴S△OAF＝×1×2＝.【答案】8．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2m.【答案】2三、解答题9．【解】(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2，1)．3因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10．【解】(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义...
