课后作业(四十六)两条直线的位置关系一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m，2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．12．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12B．－2C．0D．103．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限图8－2－14．如图8－2－1，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3B．6C．2D．25．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为()A.B.C.D.二、填空题6．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0，4)距离为2的直线方程为________．7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．8．(2013·珠海模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．三、解答题9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．111．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．2解析及答案一、选择题1．【解析】因为线段AB的中点为(，0)在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.【答案】C2．【解析】由2m－20＝0得m＝10，由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上得10＋4p－2＝0，∴p＝－2，又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.【答案】A3．【解析】解方程组得交点坐标为(，)．因为0＜k＜，所以＜0，＞0.故交点在第二象限．【答案】B4．【解析】直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)．则光线经过的路程为|CD|＝＝2.【答案】C5．【解析】由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.故切线l的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.∴点P(3，2)到直线l的距离为＝.【答案】A二、填空题6．【解析】由得∴l1与l2交点为(1，2)，设所求直线y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵P(0，4)到直线距离为2，∴2＝，∴k＝0或k＝.3∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.【答案】y＝2或4x－3y＋2＝07．【解析】设A(0，2)，B(4，0)，则线段AB的中点为(2，1)，直线AB的斜率kAB＝＝－.则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.又点(7，3)与点(m，n)重合，则有即解之得m＝且n＝，∴m＋n＝.【答案】8．【解析】点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离d＝＝(a＋2b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝.当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．【答案】三、解答题9．【解】(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等．∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.10．【解】(1)证明直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得∴直线l恒过定点(－2，3)．(2)设直线l恒过定点A(－2，3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率kPA＝＝，∴直线l的斜率kl＝－5.故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.11．【解】如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即·3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①4又由于线段BB′的中点坐标为(，)，且在直线l上，∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2，5)．56
