第1页共9页“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填多填或错填都得0分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7（B）（C）（D）5【答】（A）解：因为，≥0，由已知条件得，，所以7．另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以故＝2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）【答】（C）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案第2页共9页（第3题）FEDCOAB＝＞0，即＞4.通过枚举知，满足条件的有17对.故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有()．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1（C）（D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB．设，则．又因为，所以≌，于是．另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B上，由所以5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案（第4题）第3页共9页（第8题5数，段成比例，所以）（第9题答案5数，段成比例，所以）NEFMDBCA所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．【答】，或．解：由，得，依题意有解得，，或．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则．②由①，②可得，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．【答】9．解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．又，所以，所以．因此9．另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交AE于点N.则所以.又，所以四边形是等腰梯形，即11(711)922CFENBE9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆...
